不同之处是我们感兴趣的。这两种分布都是由独立的伯努利试验构建的，成功概率为p。

对于二项分布，随机变量X是在n次试验中观察到的成功次数。因为试验次数是固定的，所以X的可能值为0, 1, ..., n。

对于负二项分布，随机变量 Y 是在观察到第r次成功之前的试验次数。在这种情况下，我们不断增加试验次数，直到达到r次成功。Y 的可能值为r , r+1 , r+2 , ... 没有上限。负二项式也可以根据第r次成功之前的失败次数来定义，而不是根据第r次成功之前的试验次数来定义。维基百科以这种方式定义负二项分布。

所以总结一下：

二项式：

• 固定试验次数 ( n )
• 固定成功概率 ( p )
• 随机变量是 X = 成功次数。
• 可能的值为 0 ≤ X ≤ n

负二项式：

• 固定成功次数 ( r )
• 固定成功概率 ( p )
• 随机变量是 Y = 直到第r次成功的试验次数。
• 可能的值是r ≤ Y

感谢 Ben Bolker 提醒我提及对这两个发行版的支持。他在这里回答了一个相关的问题。

负二项分布尽管看起来与二项分布有明显的关系，但实际上与泊松分布相比更好。顺便说一句，这三个都是离散的。

在实际应用中，当您观察到高于 Poisson 预期的色散（方差）时，NB 是 Poisson 的替代方案。当您处理计数数据时，泊松是首先要考虑的选择，例如小镇每年的车祸死亡人数。泊松分布的均值和方差都由一个参数定义 - 发生率，通常表示为。只要您估计，您的均值和方差就会随之而来。事实上，均值必须等于方差。$\lambda$$\lambda$

如果您的数据表明方差大于均值（过度离散），这排除了泊松，那么负二项式将是下一个要查看的分布。它有多个参数，因此它的方差可能大于均值。

NB 与二项式的关系来自底层过程，正如@Jelsema 的回答中所描述的那样。这个过程是相关的，所以分布也是相关的，但正如我在这里解释的那样，与泊松分布的链接在实际应用中更接近。

更新：另一方面是参数化。二项分布有两个参数：p 和 n。它的真实域是 0 到 n。因为它不仅是离散的，而且是在一组有限的数字上定义的。

相反，泊松和 NB 都是在无限的非负整数集上定义的。Poisson 有一个参数，而 NB 有两个：p 和 r。请注意，这两个没有参数。因此，这是了解 NB 和 Poisson 如何连接的另一种方式。$\lambda$$n$

当您进行采样时，它们都是离散的并且代表计数。

二项分布表示一个实验中的成功次数，它的抽奖次数是预先固定的，例如假设从一个制造过程中随机选择三个项目，每个项目都被检查并分类有缺陷，，或无缺陷，，我们看到这种情况下的样本空间是。$D$$N$$S = ( DDD, DDN, DND, DNN, NDD, NDN, NND, NNN)$

由于 Negative Binomial 表示失败的次数，直到您得出一定数量的成功。考虑同样的例子，假设实验是随机抽样物品，直到观察到一个有缺陷的物品。那么这种情况的样本空间是。$S = ( D,ND,NND,NNND,... )$

所以二项式在固定次数的试验中计算成功，而负二项式计算失败，直到固定次数的成功，但是对于两者，我们都是用替换绘制的，这意味着每次试验都有一个固定的成功概率。$p$