这是一个美丽的优惠券收藏家的问题，由于贴纸以 5 个一包的形式提供，因此有点扭曲。

如果贴纸是单独购买的，结果是已知的，如您所见。

单独购买贴纸的 90% 上限的所有估计值也是一包 5 个问题的上限，但上限不太接近。

我认为使用 5 个依赖包获得更好的 90% 概率上限会变得更加困难，并且不会给您带来更好的结果。

所以，使用尾部估计$P[T>\beta n \log n] \leq n^{-\beta+1}$和$n=424$和$n^{-\beta+1} = 0.1$，你会得到一个很好的答案。

编辑：

参考 Assuranceturix 带来的文章《The collector's problem with group drawing》 (Wolfgang Stadje) 给出了针对 Coupon Collector's Problem with "sticker packs" 的精确解析解。

在写定理之前，一些符号定义：$S$将是所有可能的贴纸的集合，$s = |S|$.$A \subset S$将是您感兴趣的子集（在 OP 中，$A = S$）， 和$l = |A|$. 我们将绘制，替换，$k$的随机子集$m$不同的贴纸。$X_{k}(A)$将是元素的数量$A$至少出现在这些子集中的一个中。

定理说：

$$P(X_{k}(A) = n) = {l \choose n} \sum_{j=0}^{n}(-1)^j {n \choose j}[{s+n-l-j \choose m}/{s \choose m}]^k$$

因此，对于 OP，我们有和。我对经典优惠券收集器问题（729 包）的估计值值进行了一些尝试，我得到 k 等于700的概率为 90.02% 。$l=s=n=424$$m=5$$k$

所以它离上限并不远:)

前几天我看到一篇论文解决了一个密切相关的问题：

http://www.unige.ch/math/folks/velenik/Vulg/Paninimania.pdf

如果我理解正确，您需要购买的预期数量为：

$\binom{424}{5}\sum_{j=1}^{424}\left(-1\right)^{j+1}\frac{\binom{424}{j}}{\binom{424}{5}-\binom{424-j}{5}}$

但是，正如 eqperes 在评论中指出的那样，OP 提出的具体问题实际上已在另一篇非开放访问的论文中详细介绍。

他们的最终结论提出了以下策略（对于 660 张贴纸的专辑）：

• 买一盒100包5贴（500贴，保证不一样）
• 再购买 40 包 5 个贴纸并交换重复的贴纸，直到您最多丢失 50 个贴纸。
• 直接从帕尼尼购买剩余的贴纸（这些贴纸的价格约为 1.5 倍）。

总计 140 包 + 最多 15 包额外的贴纸（按成本计价），以有针对性的方式购买，最多相当于155 包。