该维基文章中链接的论文中的这张图提供了一个很好的说明：

他们提供的证明是基于正态分布在其平均值的一个 SD 内是凹的（SD 是正态 pdf 的拐点，它从凹到凸）。因此，如果将两个普通 pdf 相加（以相等的比例），那么只要它们的均值相差小于两个 SD，sum-pdf（即混合）将在两个均值之间的区域中是凹的，因此全局最大值必须正好在两个平均值之间。

参考：Schilling, MF, Watkins, AE 和 Watkins, W. (2002)。人的身高是双峰的吗？美国统计学家， 56（3），223–229。doi:10.1198/00031300265

这是图片可能具有欺骗性的情况，因为此结果是正态混合物的一个特殊特征：模拟不一定适用于其他混合物，即使分量是对称的单峰分布！例如，两个Student t 分布的相等混合，其距离小于其共同标准差的两倍，这将是双峰的。那么，为了获得真正的洞察力，我们必须做一些数学运算或诉诸正态分布的特殊属性。

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选择测量单位（根据需要通过重新调整和重新缩放）将分量分布的均值置于并使它们的共同方差统一。设是混合物中较大平均成分的量。这使我们能够将混合密度完全概括为$\pm\mu,$ $\mu\ge 0,$$p,$ $0 \lt p \lt 1,$

$$\sqrt{2\pi}f(x;\mu,p) = p \exp\left(-\frac{(x-\mu)^2}{2}\right) + (1-p) \exp\left(-\frac{(x+\mu)^2}{2}\right).$$

因为两个分量密度在处减小，所以唯一可能的模式出现在与微分并将其设置为零来 找到它们。清除我们获得的任何正系数$x\lt -\mu$$x\gt \mu,$$-\mu\le x \le \mu.$$f$$x$

$$0 = -e^{2x\mu} p(x-\mu) + (1-p)(x+\mu).$$

的二阶导数执行类似的操作 并用前面等式确定的值替换告诉我们，二阶导数在任何临界点的符号是$f$$e^{2x\mu}$

$$f^{\prime\prime}(x;\mu,p) \propto \frac{(1+x^2-\mu^2)}{x-\mu}.$$

因为当的符号是很明显，当符号必须为负。然而，在多模态分布中（因为密度是连续的），在任何两个模态之间都必须存在反模态，其中符号为非负数。因此，当小于（SD）时，分布必须是单峰的。$-\mu\lt x \lt \mu,$$f^{\prime\prime}$$-(1-\mu^2 + x^2).$$\mu\le 1,$$\mu$$1$

由于均值的分离为因此该分析的结论是$2\mu,$

只要均值之间的距离不超过共同标准差的两倍，正态分布的混合就是单峰的。

这在逻辑上等同于问题中的陈述。

上面的评论粘贴在这里以保持连续性：

“[F] 通常，对于具有相同 SD σ 的两个正态分布的 50:50 混合，如果您以完整形式写出密度来显示参数，当均值之间的距离从 2σ 以下增加到以上时，您将看到它的二阶导数在两个均值之间的中点处改变符号。”

$$f(x)=0.5g_1(x)+0.5g_2(x)$$

评论继续：

在每种情况下，两条“混合”的正态曲线都有从左到右，均值之间的距离分别为和。均值之间的中点 (1.5) 处的混合密度的凹度从负变为零，再变为正。$\sigma=1.$$3\sigma, 2\sigma,$$\sigma,$

图的R代码：

par(mfrow=c(1,3))
  curve(dnorm(x, 0, 1)+dnorm(x,3,1), -3, 7, col="green3", 
    lwd=2,n=1001, ylab="PDF", main="3 SD: Dip")
  curve(dnorm(x, .5, 1)+dnorm(x,2.5,1), -4, 7, col="orange", 
    lwd=2, n=1001,ylab="PDF", main="2 SD: Flat")
  curve(dnorm(x, 1, 1)+dnorm(x,2,1), -4, 7, col="violet", 
    lwd=2, n=1001, ylab="PDF", main="1 SD: Peak")
par(mfrow=c(1,3))