机器算法验证 - 计算联合置信区间的高斯相关不等式的后果 - 吾爱随笔录

根据 Quanta 杂志上这篇非常有趣的文章：“A Long-Sought Proof, Found and Nearly Lost”，——已经证明，给定一个向量 $\mathbf{x}=(x_1,\dots,x_n)$ 具有多元高斯分布和给定的区间 $I_1,\dots,I_n$ 以相应组件的均值为中心 $\mathbf{x}$ ，然后

p (x_{1} \in I_{1}, \dots, x_{n} \in I_{n}) \geq \prod_{i = 1}^{n} p (x_{i} \in I_{i})

$p(x_1\in I_1, \dots, x_n\in I_n)\geq \prod_{i=1}^n p(x_i\in I_i)$

（高斯相关不等式或 GCI；有关更一般的公式，请参见https://arxiv.org/pdf/1512.08776.pdf）。

这看起来非常好和简单，文章说它对联合置信区间有影响。但是，在这方面对我来说似乎毫无用处。假设我们正在估计参数 $\theta_1,\dots,\theta_n$ , 我们找到了估算器 $\hat{\theta_1},\dots,\hat{\theta_n}$ 它们是（可能是渐近的）联合正态的（例如，MLE 估计量）。然后，如果我计算每个参数的 95% 置信区间，GCI 保证超立方体 $I_1\times\dots I_n$ 是一个联合置信区域，覆盖率不小于 $(0.95)^n$ ...即使是中等的，覆盖率也很低 $n$ .

因此，找到联合置信区域似乎不是一个聪明的方法：如果协方差矩阵已知并且它更清晰，则不难找到多元高斯（即超椭圆体）的通常置信区域。当协方差矩阵未知时，找到置信区域可能有用吗？你能举个例子说明 GCI 与联合置信区域计算的相关性吗？