自动为非线性模型找到好的起始值是一门艺术。（当您可以绘制数据并在视觉上做出一些好的猜测时，一次性数据集相对容易。）一种方法是线性化模型并使用最小二乘估计。

在这种情况下，模型具有形式

$$\mathbb{E}(Y) = a \exp(b x) + c$$

对于未知参数$a,b,c$. 指数的存在鼓励我们使用对数——但是加上$c$很难做到这一点。但请注意，如果$a$是正面的$c$将小于的最小期望值$Y$--因此可能比最小的观察值小一点$Y$. （如果$a$可能是负数，您还必须考虑$c$比最大观察值略大$Y$.)

那么，让我们照顾$c$通过用作初始估计$c_0$大约是观测值最小值的一半$y_i$. 现在可以在没有那个棘手的附加项的情况下将模型重写为

$$\mathbb{E}(Y) - c_0 \approx a \exp(b x).$$

我们可以记录以下内容：

$$\log(\mathbb{E}(Y) - c_0) \approx \log(a) + b x.$$

这是模型的线性近似。两个都$\log(a)$和$b$可以用最小二乘估计。

这是修改后的代码：

c.0 <- min(q24$cost.per.car) * 0.5
model.0 <- lm(log(cost.per.car - c.0) ~ reductions, data=q24)
start <- list(a=exp(coef(model.0)[1]), b=coef(model.0)[2], c=c.0)
model <- nls(cost.per.car ~ a * exp(b * reductions) + c, data = q24, start = start)

它的输出（对于示例数据）是

Nonlinear regression model
  model: cost.per.car ~ a * exp(b * reductions) + c
   data: q24
        a         b         c 
 0.003289  0.126805 48.487386 
 residual sum-of-squares: 2243

Number of iterations to convergence: 38 
Achieved convergence tolerance: 1.374e-06

收敛看起来不错。让我们绘制它：

plot(q24)
p <- coef(model)
curve(p["a"] * exp(p["b"] * x) + p["c"], lwd=2, col="Red", add=TRUE)

效果很好！

自动化时，您可以对残差执行一些快速分析，例如将它们的极值与 ($y$） 数据。您可能还需要类似的代码来处理这种可能性$a\lt 0$; 我把它留作练习。

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另一种估计初始值的方法依赖于理解它们的含义，这可以基于经验、物理理论等 。我的回答中描述了一个（中等难度）非线性拟合的扩展示例，其初始值可以通过这种方式确定在https://stats.stackexchange.com/a/15769。

散点图的可视化分析（以确定初始参数估计）在https://stats.stackexchange.com/a/32832进行了描述和说明。

在某些情况下，会进行一系列非线性拟合，您可以预期解会缓慢变化。在这种情况下，使用以前的解决方案作为下一个解决方案的初始估计通常很方便（并且快速）。我记得在https://stats.stackexchange.com/a/63169使用过这种技术（没有评论） 。

这个库能够解决我的 nls 问题singular gradient： http ://www.r-bloggers.com/a-better-nls/ 一个例子：

library(minpack.lm)
nlsLM(function, start=list(variable=2,variable2=12))

所以......我想我把它误读为指数函数。我所需要的只是poly()

model <- lm(cost.per.car ~ poly(reductions, 3), data=q24)
new.data <- data.frame(reductions = c(91,92,93,94))
predict(model, new.data)

plot(q24)
lines(q24$reductions, predict(model, list(reductions = q24$reductions)))

或者，使用lattice：

xyplot(cost.per.car ~ reductions, data = q24,
       panel = function(x, y) {
         panel.xyplot(x, y)
         panel.lines(x, predict(model,list(reductions = x) ))
       }, 
       xlab = "Reductions", 
       ylab = "Cost per car")