对于因子分析（不是主成分分析），有相当多的文献对观察次数的一些旧经验法则提出质疑。传统的建议——至少在心理测量学中——是每个变量至少有观察值（通常在到之间），所以无论如何。$x$$x$$5$$20$$n \gg p$

可以在http://www.encorewiki.org/display/~nzhao/The+Minimum+Sample+Size+in+Factor+Analysis找到包含许多参考资料的相当全面的概述

然而，最近模拟研究的主要信息可能是结果的质量差异很大（取决于社区、因素的数量或因素与变量的比率等），考虑到变量与观察值的比率不是决定所需观察次数的好方法。如果条件是吉祥的，你可能会得到比旧指南建议的少得多的观察结果，但在某些情况下，即使是最保守的指南也过于乐观。例如，Preacher & MacCallum (2002) 在样本量极小且的情况下获得了良好的结果，但 Mundfrom, Shaw & Ke (2005) 发现了一些样本量为$p > n$$n > 100 p$是必要的。他们还发现，如果潜在因素的数量保持不变，更多的变量（而不是更少，正如基于观察变量比的指导方针所暗示的那样）可能会在少量观察样本的情况下产生更好的结果。

相关参考：

• Mundfrom, DJ, Shaw, DG, & Ke, TL (2005)。进行因子分析的最小样本量建议。国际测试杂志， 5 (2)，159-168。
• 传教士，KJ 和麦卡勒姆，RC（2002 年）。行为遗传学研究中的探索性因素分析：小样本的因素恢复。行为遗传学， 32 (2), 153-161。
• de Winter, JCF, Dodou, D., & Wieringa, PA (2009)。小样本的探索性因素分析。多元行为研究， 44 (2), 147-181。

您实际上可以衡量您的样本量是否“足够大”。小样本量太小的一个症状是不稳定。

引导或交叉验证您的 PCA：这些技术通过删除/交换一小部分样本来扰乱您的数据集，然后为每个被扰乱的数据集构建“代理模型”。如果代理模型足够相似（= 稳定），那么您就可以了。您可能需要考虑到 PCA 的解决方案不是唯一的：PC 可以翻转（将分数和各自的主成分都乘以）。您可能还想使用 Procrustes 旋转，以获得尽可能相似的 PC 模型。$-1$

MVA 不等式背后的思想很简单：PCA 等效于估计变量的相关矩阵。你试图猜测$p\frac{p-1}{2}$（对称矩阵）系数来自$np$数据。（这就是为什么你应该有 n>>p。）

可以这样看出等价性：每个 PCA 步骤都是一个优化问题。我们试图找到表达最大差异的方向。IE：

在哪里$\sigma$是协方差矩阵。

在约束下：

这些问题的解显然是$\Sigma$与它们的特征值相关。我不得不承认我不记得确切的公式，但特征向量取决于$\sigma$. 变量的模归一化，协方差矩阵和相关矩阵是一回事。

取 n = p 或多或少等同于猜测只有两个数据的值......它不可靠。

没有经验法则，请记住，PCA 或多或少与从$2\frac{n}{p}$价值观。

我希望这可能会有所帮助：

适用于 FA 和 PCA

''本章描述的方法需要大量样本才能得出稳定的解。什么构成足够的样本量有些复杂。直到最近，分析师还使用诸如“因子分析需要的主题数量是变量的 5-10 倍”之类的经验法则。最近的研究表明，所需的样本量取决于因子的数量、与每个因子相关的变量的数量，以及一组因子对变量方差的解释程度（Bandalos 和 Boehm-Kaufman，2009 年）。我会冒险说，如果你有数百个观察结果，你可能是安全的。''

参考：

Bandalos、DL 和 MR Boehm-Kaufman。2009. “探索性因素分析中的四个常见误解”。在 Statistical and Methodological Myths and Urban Legends 中，由 CE Lance 和 RJ Vandenberg 编辑，61-87。纽约：劳特里奇。

来自 Robert I. Kabacoff 的“R in Action”，这本书内容丰富，提供了涵盖几乎所有统计测试的良好建议。