这是一个很好的问题。

我们知道诸如逻辑、泊松等模型属于广义线性模型的范畴。

嗯，是的，也不是。鉴于问题的上下文，我们必须非常小心地说明我们在谈论什么——单独的“逻辑”和“泊松”不足以描述预期的内容。

(i) “泊松”是一个分布。作为条件分布的描述，它不是线性的（因此不是 GLM），除非您指定一个线性（参数）模型来描述条件均值（即仅说“泊松”是不够的）。当人们指定“泊松回归”时，他们几乎总是打算使用参数线性的模型，因此是 GLM 。但是仅“泊松”就可以是任意数量的事物*。

(ii) 另一方面，“逻辑”是指对均值的描述（均值在预测变量中是逻辑的）。它不是 GLM，除非你将它与指数族的条件分布结合起来。另一方面，当人们说“逻辑回归”时，他们几乎总是指具有 logit 链接的二项式模型——这确实意味着预测变量是逻辑的，模型在参数上是线性的并且在指数族中，GLM 也是如此。

该模型包括参数的非线性函数，

好吧，再一次，是的，不是的。

“广义线性模型”中的线性表示参数线性进入模型。具体来说，这意味着在线性预测变量的尺度上，模型的形式为。$\eta=g(\mu)$$\eta=X\beta$

进而可以通过使用适当的链接函数使用线性模型框架对其进行建模。

正确的

我想知道您是否考虑（教？）逻辑回归等情况：

（我在这里改变你的问题的顺序）

线性模型，因为链接将我们转换为线性模型框架

正是出于这个原因，将 GLM 称为“线性”是传统的做法。事实上，很明显这是约定，因为它就在名称中。

非线性模型，给定参数的形式

这里我们必须非常小心，因为“非线性”一般是指参数非线性的模型。对比非线性回归与广义线性模型。

因此，如果您想使用术语“非线性”来描述 GLM，请务必仔细指定您的意思 - 通常，均值与预测变量非线性相关。

确实，如果您确实使用“非线性”来指代 GLM，那么您不仅会遇到困难（因此可能会被误解），而且在尝试谈论广义非线性模型时也会遇到困难。如果您已经将 GLM 描述为“非线性模型”，那么很难解释这种区别！

* 考虑一个泊松非线性回归模型，其中没有，所以我们仍然有：$g(\mu)$

但是例如，其中是年龄，给定是观察到的死亡人数，而的人口年死亡率模型：$x$$Y$$x$$\mu_x$$x$

（通常我们会在这里为年龄的人口提供一个偏移量，这会改变项，但我们可以假设我们观察到恒定暴露的情况。请注意，泊松模型和二项式模型都用于对死亡率进行建模。）$x$$\alpha$

这里第一项表示由于（例如）事故（或与年龄无关的其他影响）导致的恒定死亡率，而第二项表示由于年龄而增加的死亡率。这样的模型有时可能在较短的成年但未衰老的年龄范围内是可行的；它本质上是Makeham 定律（这里以风险函数的形式呈现，但年化率将是一个合理的近似值）。

这是一个广义的非线性模型。