首先，“似然 x 先验”的积分不一定是 1。

如果：

$0 \leq P(\textrm{model}) \leq 1$和$0 \leq P(\textrm{data}|\textrm{model}) \leq 1$

那么这个产品相对于模型的积分（实际上是模型的参数）是 1。

示范。想象两个离散密度：

$$P(\textrm{model}) = [0.5, 0.5] \text{ (this is called "prior")}\\ P(\textrm{data | model}) = [0.80, 0.2] \text{ (this is called "likelihood")}\\ $$

如果你将它们相乘，你会得到： 这不是一个有效的密度，因为它没有积分为一：

$$[0.40, 0.25]$$ $$0.40 + 0.25 = 0.65$$

那么，我们应该怎么做才能强制积分为1呢？使用归一化因子，即：

$$\sum_{\text{model_params}} P(\text{model}) P(\text{data | model}) = \sum_\text{model_params} P(\text{model, data}) = P(\text{data}) = 0.65$$

（对不起，糟糕的符号。我为同一件事写了三种不同的表达方式，因为你可能会在文献中看到它们）

其次，“可能性”可以是任何东西，即使是密度，它的值也可以高于 1。

正如@whuber 所说，这些因素不需要介于 0 和 1 之间。他们需要它们的积分（或总和）为 1。

第三[额外]，“共轭”是您的朋友，可以帮助您找到归一化常数。

你会经常看到： 因为缺少分母很容易通过集成此产品获得。请注意，如果先验和似然是共轭的，则此积分将有一个众所周知的结果。

$$P(\textrm{model}|\textrm{data}) \propto P(\textrm{data}|\textrm{model}) P(\text{model})$$

对您的问题的简短回答是，如果没有分母，右侧的表达式仅仅是可能性，而不是概率，其范围只能从 0 到 1。“归一化常数”允许我们得到概率事件的发生，而不仅仅是该事件与另一事件相比的相对可能性。

你已经得到了两个有效的答案，但让我加上我的两分钱。

贝叶斯定理通常定义为：

$$P(\text{model}~ | ~\text{data}) \propto P(\text{model}) \times P(\text{data}~|~\text{model})$$

因为您需要常量的唯一原因是它集成为 1（请参阅其他人的答案）。这在大多数 MCMC 模拟贝叶斯分析方法中是不需要的，因此从方程中删除了常数。因此，对于大多数模拟来说，它甚至不是必需的。

我喜欢Kruschke的描述：最后一只小狗（常数）很困，因为他与公式无关。

还有一些人，比如 Andrew Gelman，认为这个常数是“被高估的”并且“当人们使用扁平先验时基本上没有意义”（查看这里的讨论）。