我正在使用两个独立的正态分布和，平均值为和以及方差和。
我对他们的比率的分布感兴趣。和的均值都不不是作为柯西分布的。
我需要找到的 CDF ，然后取 CDF 关于、、和的导数。
有谁知道已经计算过这些的论文？或者自己如何做到这一点？
我在1969 年的一篇论文中找到了 CDF 的公式，但使用这些导数肯定会很痛苦。也许有人已经做过或知道如何轻松做到？我主要需要知道这些衍生物的迹象。
大部分为正，本文还包含一个分析上更简单的近似值。我不能有这个限制。但是，即使在参数范围之外，近似值也可能与真实导数具有相同的符号？
如果您有许可证，请考虑使用像 Mathematica 这样的符号数学包，如果没有许可证，请考虑使用 Sage。
如果你只是做数值工作，你也可以只考虑数值微分。
虽然乏味，但它确实向前看。也就是说，所有涉及的函数都易于计算导数。完成后，您可以使用数值微分来测试您的结果，以确保您有正确的公式。
这是一种在数值上非常简单的问题，而且也不太容易出错。由于您说您只需要符号，因此我认为准确的数值近似值足以满足您的需求。这是一些代码，其中包含针对的导数示例：
pratio <- function(z, mu_x=1.0, mu_y=1.0,var_x=0.2, var_y=0.2) {
sd_x <- sqrt(var_x)
sd_y <- sqrt(var_y)
a <- function(z) {
sqrt(z*z/var_x+1/var_y)
}
b <- function(z) {
mu_x*z/var_x + mu_y/var_y
}
c <- mu_x^2/var_x + mu_y^2/var_y
d <- function(z) {
exp((b(z)^2 - c*a(z)^2)/(2*a(z)^2))
}
t1 <- (b(z)*d(z)/a(z)^3)
t2 <- 1.0/(sqrt(2*pi)*sd_x*sd_y)
t3 <- pnorm(b(z)/a(z)) - pnorm(-b(z)/a(z))
t4 <- 1.0/(a(z)^2*pi*sd_x*sd_y)
t5 <- exp(-c/2.0)
return(t1*t2*t3 + t4*t5)
}
# Integrates to 1, so probably no typos.
print(integrate(pratio, lower=-Inf, upper=Inf))
cdf_ratio <- function(x, mu_x=1.0, mu_y=1.0,var_x=0.2, var_y=0.2) {
integrate(function(x) {pratio(x, mu_x, mu_y, var_x, var_y)},
lower=-Inf, upper=x, abs.tol=.Machine$double.eps)$value
}
# Numerical differentiation here is very easy:
derv_mu_x <- function(x, mu_x=1.0, mu_y=1.0,var_x=0.2, var_y=0.2) {
eps <- sqrt(.Machine$double.eps)
left <- cdf_ratio(x, mu_x+eps, mu_y, var_x, var_y)
right <- cdf_ratio(x, mu_x-eps, mu_y, var_x, var_y)
return((left - right)/(2*eps))
}