好吧，如果你有一个来自帕累托分布和（其中是下界参数，而是形状参数），那么它的对数似然样本是：$X_1, ..., X_n$$m>0$$\alpha>0$$m$$\alpha$

$$n \log(\alpha) + n \alpha \log(m) - (\alpha+1) \sum_{i=1}^{n} \log(X_i)$$

这是的单调递增，因此最大化器是与观察到的数据一致的最大值。由于参数定义了帕累托分布的支持下限，因此最优值为$m$$m$

$$\hat{m} = \min_{i} X_i$$

这不依赖于。接下来，使用普通的微积分技巧，的 MLE必须满足$\alpha$$\alpha$

$$\frac{n}{\alpha} + n \log( \hat{m} ) - \sum_{i=1}^{n} \log(X_i) = 0$$

一些简单的代数告诉我们的 MLE是$\alpha$

$$\hat{\alpha} = \frac{n}{\sum_{i=1}^{n} \log(X_i/\hat{m})}$$

在许多重要的意义上（例如最佳渐近效率，因为它达到了 Cramer-Rao 下界），这是将数据拟合到帕累托分布的最佳方法。下面的 R 代码计算给定数据集的 MLE X。

pareto.MLE <- function(X)
{
   n <- length(X)
   m <- min(X)
   a <- n/sum(log(X)-log(m))
   return( c(m,a) ) 
}

# example. 
library(VGAM)
set.seed(1)
z = rpareto(1000, 1, 5) 
pareto.MLE(z)
[1] 1.000014 5.065213

编辑：根据@cardinal 和我下面的评论，我们还可以注意到是的样本平均值的倒数，这恰好发生在呈指数分布。因此，如果我们可以访问可以拟合指数分布的软件（这更有可能，因为它似乎出现在许多统计问题中），那么可以通过以这种方式转换数据集并对其进行拟合来完成对 Pareto 分布的拟合到变换尺度上的指数分布。 $\hat{\alpha}$$\log(X_i /\hat{m})$

您可以使用包中fitdist提供的功能fitdistrplus：

library(MASS)
library(fitdistrplus)
library(actuar)

# suppose data is in dataPar list
fp <- fitdist(dataPar, "pareto", start=list(shape = 1, scale = 500))
#the mle parameters will be stored in fp$estimate