请注意：

$$\begin{equation} \frac{\alpha\cdot\beta}{(\alpha+\beta)^2}=(\frac{\alpha}{\alpha+\beta})\cdot(1-\frac{\alpha}{\alpha+\beta}) \end{equation}$$

这意味着方差因此可以用均值表示为

$$\begin{equation} \sigma^2=\frac{\mu\cdot(1-\mu)}{\alpha+\beta+1} \\ \end{equation}$$

如果您想要的标准差（方差），只需计算：$.27$$.18$$.0324$

$$\begin{equation} \alpha+\beta=\frac{\mu(1-\mu)}{\sigma^2}-1=\frac{.27\cdot(1-.27)}{.0324}-1=5.083333 \\ \end{equation}$$

现在您知道总数了，和很简单：$\alpha$$\beta$

$$\begin{equation} \alpha=\mu(\alpha+\beta)=.27 \cdot 5.083333=1.372499 \\ \beta=(1-\mu)(\alpha+\beta)=(1-.27) \cdot 5.083333=3.710831 \end{equation}$$

您可以在 R 中检查此答案：

> mean(rbeta(10000000, 1.372499, 3.710831))
[1] 0.2700334
> var(rbeta(10000000, 1.372499, 3.710831))
[1] 0.03241907

我想将此添加为对出色答案的评论，但它运行时间很长，并且使用答案格式看起来会更好。

需要记住的是，并非所有都是可能的。很明显，但不太清楚的限制。$(\mu, \sigma^2)$$\mu \in [0,1]$$\sigma^2$

使用与大卫相同的推理，我们可以表达

$$\sigma^2(\alpha, \mu) = \frac{\mu^2 (1-\mu)}{\alpha + \mu}$$

这相对于，最大的可以是：$\alpha$$\sigma^2$$\mu$

$$\lim_{\alpha \rightarrow 0}\sigma^2(\alpha, \mu) = \mu(1-\mu)$$

这只是一个上定论，因为有效的集是开放的（即，对于 Beta，我们必须有）；此限制本身在处最大化。$\alpha$$\alpha > 0$$\mu = \frac12$

注意与相应伯努利 RV 的关系。的 Beta 分布，因为它被迫取 0 和 1 之间的所有值，因此必须比具有相同均值的伯努利 RV（其所有质量都在末端）更分散（即具有更低的方差）区间）。事实上，将发送到 0 并修复相当于将 PDF 的质量越来越接近 0 和 1，即越来越接近一个伯努利分布，这就是为什么方差的上项恰好是对应的伯努利方差。$\mu$$\alpha$$\beta = \frac{1-\mu}{\mu} \alpha$

综上所述，这是 Beta 的一组有效均值和方差：

（事实上​​，这在Beta 的 Wikipedia 页面上有说明）