R 中的fBasics包（Rmetrics的一部分）包括几个正态性检验，涵盖了许多流行的常客检验——Kolmogorov-Smirnov、Shapiro-Wilk、Jarque-Bera 和 D'Agostino——以及用于正态性检验的包装器在最北的包裹中——安德森-达林、克莱默-冯·米塞斯、利利福斯（Kolmogorov-Smirnov）、皮尔逊卡方和夏皮罗-弗朗西亚。包文档还提供了所有重要的参考资料。这是一个演示，展示了如何使用来自 nortest 的测试。

如果您有时间，一种方法是使用多个测试并检查是否一致。测试以多种方式变化，因此选择“最佳”并非完全简单。您所在领域的其他研究人员使用什么？这可能会有所不同，最好坚持使用公认的方法，以便其他人接受您的工作。出于这个原因，我经常使用 Jarque-Bera 测试，并使用 Anderson-Darling 进行比较。

您可以查看“单变量正态性检验的比较”（Seier 2002）和“各种正态性检验的比较”（Yazici；Yolacan 2007），以比较和讨论这些问题。

由于所有分布函数，在 R 中测试这些方法进行比较也很简单。这是一个带有模拟数据的简单示例（我不会打印结果以节省空间），尽管需要更完整的说明：

library(fBasics); library(ggplot2)
set.seed(1)

# normal distribution
x1 <- rnorm(1e+06)   
x1.samp <- sample(x1, 200)
qplot(x1.samp, geom="histogram")
jbTest(x1.samp)
adTest(x1.samp)

# cauchy distribution
x2 <- rcauchy(1e+06)
x2.samp <- sample(x2, 200)
qplot(x2.samp, geom="histogram")
jbTest(x2.samp)
adTest(x2.samp)

一旦你从不同分布的各种测试中得到结果，你就可以比较哪些是最有效的。例如，上述 Jarque-Bera 检验的 p 值对于正态分布（接受）返回 0.276，对于柯西（拒绝零假设）返回 < 2.2e-16。

正常情况下，实际的 Shapiro-Wilk 在相当小的样本中具有良好的功效。

我所看到的研究中的主要竞争对手是更一般的 Anderson-Darling，它的表现相当不错，但我不会说它更好。如果您可以阐明您对哪些替代方案感兴趣，那么更好的统计数据可能会更加明显。[编辑：如果您估计参数，则应为此调整 AD 测试。]

[我强烈建议不要在小样本中考虑 Jarque-Bera（在统计界可能更好地称为 Bowman-Shenton - 他们研究了小样本分布）。偏度和峰度的渐近联合分布与小样本分布完全不同——就像香蕉看起来不像橙子一样。对于一些有趣的替代方案，它也具有非常低的功效 - 例如，它具有低功效来拾取具有接近正态分布的峰度的对称双峰分布。]

人们经常测试拟合优度，结果证明不是特别好的原因，或者他们回答的问题不是他们真正想要回答的问题。

例如，您几乎可以肯定已经知道您的数据并不真正正常（不完全正常），因此尝试回答您知道答案的问题是没有意义的 - 并且假设检验实际上并没有真正回答它。

鉴于您知道您还没有确切的正态性，您对正态性的假设检验确实为您提供了一个更接近“我的样本量是否足够大以获取我所拥有的非正态性数量”的问题的答案，而您有兴趣回答的真正问题通常更接近“这种非正态性对我感兴趣的其他这些事情有什么影响？”。假设检验是测量样本量，而您有兴趣回答的问题并不是非常依赖于样本量。

有时，正态性检验是有意义的，但这些情况几乎从不会发生在小样本中。

为什么要测试正常性？

关于正态性测试有一个完整的维基百科类别，包括：

• Anderson-Darling 检验，在统计学家中很流行；和
• Jarque-Bera 检验，在计量经济学家中很流行。

我认为AD可能是其中最好的。

为了完整起见，计量经济学家还喜欢他们 1983 年在《经济学快报》上发表的论文中的 Kiefer 和 Salmon 检验——它将偏度和峰度的“归一化”表达式求和，然后按卡方分布。我有一个我在读研究生时写的旧 C++ 版本，我可以翻译成 R。

编辑：这是 Bierens（重新）推导 Jarque-Bera 和 Kiefer-Salmon 的最新论文。

编辑 2：我查看了旧代码，看来这确实是 Jarque-Bera 和 Kiefer-Salmon 之间的相同测试。