我对皮尔逊相关系数总体值的两种类型的估计量有些困惑。

A. Fisher (1915)表明，对于二元正态总体，经验是的负偏估计量，尽管仅对于小样本量 ( )，偏倚实际上可能相当大。样本低估 ，因为它比更接近。（除非后者是或，因为那么是无偏的。）已经提出了几个几乎无偏的估计量，最好的可能是Olkin 和 Pratt (1958)$r$$\rho$$n<30$$r$$\rho$$0$$\rho$$0$$\pm 1$$r$$\rho$更正：$r$

$$r_\text{unbiased} = r \left [1+\frac{1-r^2}{2(n-3)} \right ]$$

B.据说在回归中观察到高估了相应的总体 R 平方。或者，通过简单的回归，是高估。基于这个事实，我看到很多文字说相对于是正偏的，这意味着绝对值：比离更远（这种说法是真的吗？）。文本说这与通过样本值高估标准偏差参数是相同的问题。有许多公式可以“调整”观察到更接近其总体参数，Wherry's (1931)$R^2$$r^2$$\rho^2$$r$$\rho$$r$$0$$\rho$$R^2$ $R_\text{adj}^2$是最知名的（但不是最好的）。这种调整后的的根称为shrunken：$r_\text{adj}^2$ $r$

$$r_\text{shrunk} = \pm\sqrt{1-(1-r^2)\frac{n-1}{n-2}}$$

估计量。非常不同：第一个膨胀，第二个放气。如何调和它们？在哪里使用/报告一个以及在哪里 - 另一个？$\rho$$r$$r$

特别是，“缩小”估计量是否也（几乎）无偏，就像“无偏”估计量一样，但仅在不同的背景下 - 在回归的不对称背景下。因为，在 OLS 回归中，我们认为一侧（预测变量）的值是固定的，样本之间没有随机误差？（在这里补充一下，回归不需要双变量正态性。）