混淆来自这样一个事实，即“鉴于 8 名员工是女性”有多种解释方式：

• 如果是 8 位特定的员工——比如说，职位 1 到 8 的员工——那么剩下的 4 位有种可能的性别配置，其中只有位是全女性，给出$2^4$$1$$\frac{1}{2^4}$

• 如果是 12 名员工中的任意 8 名，则要求查看 12 名员工的所有配置，排除 5 名或更多男性的配置，并统计全部为女性的比例。

  请注意，在这种解释下，有效配置中的每个员工都没有50% 的机会是男性/女性，因为我们假设每个有效配置中至少有 8 名女性。每个有效配置的机会均等。

这令人困惑的原因是我们的直觉假定了第一种解释，但问题的措辞方式暗示了第二种解释。

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有一个著名的统计“悖论”源于同样的推理：

在一个有两个孩子的家庭中，其中一个是女孩，两个都是女孩的概率是多少？

大多数人认为答案是，但实际上是，原因与原始问题相同。如果您仍然感到困惑，请参阅此答案，该答案对悖论及其解决方案进行了更彻底的解释。$\frac{1}{2}$$\frac{1}{3}$

也许通过明确的假设给出一些更清晰的结构会有所帮助。假设我们愿意先验地假设每个人都是男性或女性，并且我们假设性别是相互独立的。那么组中的人的“女性指标”变量是：

$$X_1,...,X_{12} \sim \text{IID Bern}(\tfrac{1}{2}).$$

因此，该组中的女性人数呈二项分布：

$$\dot{X} \equiv \sum_{i} X_i \sim \text{Bin}(12, \tfrac{1}{2}),$$

感兴趣的条件概率是：

$$\mathbb{P}(\dot{X} = 12 | \dot{X} \geqslant 8) = \frac{\mathbb{P}(\dot{X} = 12)}{\mathbb{P}(\dot{X} \geqslant 8)} = \cdots$$

你能从这里拿走吗？

你需要对你所做的陈述非常、非常、非常准确，否则任何结果都将是一派胡言——因为它们可能是对完全不同问题的正确答案。

我对您提出的问题的阅读导致答案“概率为零”。十二名员工中有八名是女性，因此四名是男性，因此并非所有员工都是女性。

让我们把它解释为“有人随机挑选了12名员工，数了数其中有多少是女性。答案是从8到12的数字”。或者“有人随机挑选了 12 名员工，然后挑选了其中的 8 名，并检查了他们的性别，八名都是女性”。情况大不相同，答案大不相同。

在第一种情况下，如果是九位女性，为什么我说“答案是从 8 到 12 的数字”而不是“答案是从 9 到 12 的数字”？如果是八位女性，我为什么不说“答案是从零到八的数字”？我可能有一个议程来给人留下很多员工或少数员工是女性的印象，所以如果你不知道议程，你可能会得到不同的答案。

假设我问你“你有几个孩子”，你回答“两个”。然后我说“我非常喜欢男孩而不是女孩。所以如果你告诉我你至少有一个男孩，我会给你 100 美元。如果你告诉我你有两个男孩，我会给你 10,000 美元. 如果你撒谎，我会射杀你”。如果你告诉我“我至少有一个男孩”，那么你有两个男孩的概率为零。

但是，你根本无法回答这个问题。我们不知道有多少员工——因为你的问题不清楚。我知道有 12 名员工参加了会议，但我不知道有多少人在会议之外。显然，越是在会议之外，她们都是女性的可能性就越小。而且我们不知道随机雇员是女性的概率。你猜的概率是 0.5。我会假设概率是一个未知数，八名员工是女性的机会取决于该数字，反之亦然，您可以从一组中的女性人数得出结论，某个员工是女性的概率是多少。

所以让我们重述这个问题。你随机挑选了 12 名员工。我告诉你“我会问你每个员工可能有或可能没有的一些属性，我希望你告诉我，具有该属性的组中的员工数量是否在 8 到 12 之间”。

您在这里注意到的是，整个统计领域都受到严重解释问题的困扰。

其中最主要的（这里是错误的）是参考类问题。在频率论框架中，这对应于将您对“概率”的陈述分配给一个人口众多的结果空间（回想一下，概率可以根据事件空间公理化- 在贝叶斯框架中，形式化略有不同，但实际结果是一样的）。对于这个问题中的陈述，我们可以有多种方法可以做到这一点 - 更糟糕的是，纯粹从问题的措辞来看，没有明显的“正确”统计解释。我们需要更多信息。

这是目前教授的统计学的主要问题之一。数学教学倾向于短小精悍的练习——它们易于阅读且易于评分。但是统计数据厌恶这一点；任何足够短的统计陈述几乎注定是无法解释的。