机器算法验证 - 为了最大限度地提高正确猜测掷硬币结果的机会，我应该总是选择最可能的结果吗？ - 吾爱随笔录

为了最大限度地提高正确猜测掷硬币结果的机会，我应该总是选择最可能的结果吗？

机器算法验证可能性

2022-01-26 04:31:24

这不是家庭作业。我有兴趣了解我的逻辑对于这个简单的统计问题是否正确。

假设我有一个 2 面硬币，其中翻转正面的概率是并且翻转尾部的概率是。让我们假设所有翻转都有独立的概率。现在，假设我想最大化预测硬币在下一次翻转时是正面还是反面的机会。如果，我可以随机猜测正面或反面，我正确的概率是。 $P(H)$ $1-P(H)$ $P(H) = 0.5$ $0.5$

现在，假设，如果我想最大化我正确猜测的机会，我应该总是猜测概率为的尾巴吗？ $P(H) = 0.2$ $0.8$

更进一步，如果我有一个 3 面骰子，并且掷出 1、2 或 3 的概率为、和，我应该总是猜 2 以最大限度地提高我猜对的机会吗？是否有另一种方法可以让我更准确地猜测？ $P(1)=0.1$ $P(2)=0.5$ $P(3)=0.4$

3个回答

你是对的。如果，并且您使用的是零一损失（也就是说，您需要猜测实际结果而不是概率或其他东西，此外，当您猜测反面时得到正面与当你猜到正面时得到尾巴），你应该每次都猜到尾巴。 $P(H) = 0.2$

人们经常错误地认为答案是在随机选择的 80% 的试验中猜测反面，而在其余的试验中猜出正面。这种策略被称为“概率匹配”，并在行为决策中得到了广泛的研究。参见，例如，

West, RF 和 Stanovich, KE (2003)。概率匹配聪明吗？概率选择与认知能力之间的关联。记忆与认知，31，243-251。doi:10.3758/BF03194383

您本质上是在问一个非常有趣的问题：我应该使用“MAP 贝叶斯”最大后验估计还是“真实贝叶斯”来预测。

假设您知道的真实分布，然后使用 MAP 估计，假设您想对接下来的 100 个翻转结果进行 100 个预测。你应该总是猜测翻转是尾巴，而不是猜测头和尾。这被称为“MAP贝叶斯”，基本上你在做 $P(H)=0.2$ $20$ $80$

\arg max_{θ} f (x | θ)

$\arg\max_ \theta f(x|\theta)$

不难证明，这样做可以最小化预测误差（0-1 损失）。证明可以在Introduction to Statistical Learning第 53 页找到。

还有另一种称为“真实贝叶斯”方法的方法。基本上，您不是在尝试“选择概率最高的结果，而是从概率上考虑所有情况”因此，如果有人要求您“预测下 100 次”翻转，您应该暂停他/她，因为当您给出 100 个二元结果时，每个结果的概率信息都消失了。相反，你应该问，知道结果后你想做什么。

假设他/她有一些损失函数（0-1损失不是必须的，比如损失函数可以是，如果漏掉一个头部，需要支付$ 1，但是如果漏掉一个尾部，则需要支付$ 5，即不平衡损失），那么您应该使用您对结果分布的了解来最小化整个分布的损失

\sum_{x} \sum_{y} p (x, y) L (f (x), y)

$\sum_x \sum_y p(x,y) L(f(x),y)$

，即，将您关于损失分布的知识结合起来，而不是“阶段性的方式”，得到预测并执行下一步。

更重要的是，当有许多可能的结果时，你对会发生什么有很好的直觉。如果结果数量很大且概率质量分布广泛，则 MAP 估计将无法正常工作。想想你有 100 个边骰，你就知道真实的分布。其中和。现在你用 MAP 做什么？你总是会猜测你得到了第一面，因为它与其他人相比具有最大的概率。但是你会在的时候出错！！ $P(S_1)=0.1$ $P(S_2)=P(S_3)=P(S_{100})=0.9/99=0.009090$ $S_1$ $90\%$

由于独立性，如果您猜测最可能的情况，您的期望值总是最大化。没有更好的策略，因为每次翻转/滚动都不会为您提供有关硬币/骰子的任何额外信息。

在任何你猜测不太可能的结果的地方，你对获胜的期望都比你猜测最可能的情况要少，因此你最好只猜测最可能的情况。

如果您想做到这一点，因此您确实需要在翻转时改变策略，您可能会考虑一个硬币/骰子，您最初不知道赔率，您必须在滚动时弄清楚它们。

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