解决问题的一种方法是从生存函数开始。为了至少要等待$t$分钟你必须至少等待$t$红色和蓝色火车的分钟。因此，总体生存函数只是个体生存函数的乘积：

$$S(t) = \left( 1 - \frac{t}{10} \right) \left(1-\frac{t}{15} \right)$$

其中，对于$0 \le t \le 10$, 是您至少需要等待的概率$t$下一班火车的分钟。这考虑到了 OP 在评论中的澄清，即要采取的正确假设是每列火车都在一个固定的时间表上，独立于另一列和旅行者的到达时间，并且两列火车的阶段是均匀分布的,

然后得到的pdf为

$$p(t) = (1-S(t))' = \frac{1}{10} \left( 1- \frac{t}{15} \right) + \frac{1}{15} \left(1-\frac{t}{10} \right)$$

并以通常的方式获得期望值：

$E[t] = \int_0^{10} t p(t) dt = \int_0^{10} \frac{t}{10} \left( 1- \frac{t}{15} \right) + \frac{t}{15} \left(1-\frac{t}{10} \right) dt = \int_0^{10} \left( \frac{t}{6} - \frac{t^2}{75} \right) dt$,

结果是$\frac{35}{9}$分钟。

答案是

$$E[t]=\int_x\int_y \min(x,y)\frac 1 {10} \frac 1 {15}dx dy=\int_x\left(\int_{y<x}ydy+\int_{y>x}xdy\right)\frac 1 {10} \frac 1 {15}dx$$ 获取括号内的部分： $$\int_{y<x}ydy=y^2/2|_0^x=x^2/2$$ $$\int_{y>x}xdy=xy|_x^{15}=15x-x^2$$ 所以，这部分是： $$(.)=\left(\int_{y<x}ydy+\int_{y>x}xdy\right)=15x-x^2/2$$ 最后， $$E[t]=\int_x (15x-x^2/2)\frac 1 {10} \frac 1 {15}dx= (15x^2/2-x^3/6)|_0^{10}\frac 1 {10} \frac 1 {15}\\= (1500/2-1000/6)\frac 1 {10} \frac 1 {15}=5-10/9\approx 3.89$$

这是要模拟的 MATLAB 代码：

nsim = 10000000;
red= rand(nsim,1)*10;
blue= rand(nsim,1)*15;
nextbus = min([red,blue],[],2);
mean(nextbus)

假设每列火车都在一个固定的时刻表上，独立于其他火车和旅行者的到达时间，那么两列火车都没有在第一个到达的概率$x$分钟是$\frac{10-x}{10} \times \frac{15-x}{15}$为了$0 \le x \le 10$，当积分给出$\frac{35}9\approx 3.889$分钟

或者，假设每列火车都是泊松过程的一部分，则联合率是$\frac{1}{15}+\frac{1}{10}=\frac{1}{6}$火车一分钟，使预期的等待时间$6$分钟

我可能是错的，但假设每列火车的出发时间遵循均匀分布，我会说在随机时间到达车站时，预期的等待时间为：

1. 这$R$ed train 是$\mathbb{E}[R] = 5$分钟
2. 这$B$火车是$\mathbb{E}[B] = 7.5$分钟
3. 先来的火车是$\mathbb{E}[\min(R,B)] =\frac{15}{10}(\mathbb{E}[B]-\mathbb{E}[R]) = \frac{15}{4} = 3.75$分钟

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正如评论中指出的那样，我将“它们都从随机时间开始”理解为“两列火车在同一随机时间开始”。这是一个非常有限的假设。