“更好”是您的模型的一个功能。

您感到困惑的部分原因是您只写了一半的模型。

当你说$y=ax^b$，这实际上不是真的。你观察到的$y$值不等于$ax^b$; 他们有一个错误组件。

例如，您提到的两个模型（无论如何都不是唯一可能的模型）对错误做出完全不同的假设。

你可能意味着更接近$E(Y|X=x) = ax^b\,$.

但是，那么我们怎么说$Y$在给定的情况下偏离期望$x$? 很重要！

• 当您拟合非线性最小二乘模型时，您是在说误差是相加的，并且误差的标准偏差在数据中是恒定的：

  $\: y_i \sim N(ax_i^b,\sigma^2)$

  或等效地

  $\: y_i = ax_i^b + e_i$， 和$\text{var}(e_i) = \sigma^2$

• 相比之下，当您采用对数并拟合线性模型时，您是在说误差在对数尺度上是相加的，并且（在对数尺度上）数据中的常数。这意味着在观测的尺度上，误差项是相乘的，因此当期望值越大时误差越大：

  $\: y_i \sim \text{logN}(\log a+b\log x_i,\sigma^2)$

  或等效地

  $\: y_i = ax_i^b \cdot \eta_i$， 和$\eta_i \sim \text{logN}(0,\sigma^2)$

  （注意$\text{E}(\eta)$不是 1。如果$\sigma^2$不是很小，如果您想要一个合理的近似值$Y$)

（您可以在不假设正态/对数正态分布的情况下进行最小二乘，但讨论的中心问题仍然适用……如果您离正态还差得很远，您可能应该考虑使用不同的误差模型）

所以最好的取决于哪种错误模型描述了您的情况。

[如果您正在对某种以前从未见过的数据进行探索性分析，您会考虑诸如“您的数据是什么样的？（即$y$密谋反对$x$? 残差看起来像什么$x$?”。另一方面，如果像这样的变量并不少见，您应该已经了解了它们的一般行为。]

当您拟合任一模型时，您假设残差集（Y 的观测值和预测值之间的差异）遵循高斯分布。如果该假设对您的原始数据（非线性回归）成立，那么对数转换值（线性回归）将不成立，反之亦然。

哪个模型“更好”？模型的假设与数据最接近的一种。