是的，因为

$$\text{Corr}(X,Y)\ne0 \Rightarrow \text{Cov}(X,Y)\ne0$$

$$\Rightarrow E(XY) - E(X)E(Y) \ne 0$$

$$\Rightarrow \int \int xyf_{X,Y}(x,y)dxdy -\int xf_X(x) dx\int yf_Y(y)dy \ne 0$$

$$\Rightarrow \int \int xyf_{X,Y}(x,y)dxdy -\int \int xyf_X(x) f_Y(y)dxdy \ne 0$$

$$\Rightarrow \int \int xy \big[f_{X,Y}(x,y) -f_X(x) f_Y(y)\big]dxdy \ne 0$$

如果$f_{X,Y}(x,y) -f_X(x) f_Y(y) =0,\;\; \forall \{x,y\}$. 所以

$$\text{Corr}(X,Y)\ne0 \Rightarrow \exists \{x,y\}:f_{X,Y}(x,y) \ne f_X(x) f_Y(y)$$

问题：没有密度的随机变量会发生什么？

让$X$和$Y$表示随机变量，使得$E[X^2]$和$E[Y^2]$ 是有限的。然后，$E[XY]$,$E[X]$和$E[Y]$都是有限的。

将我们的注意力限制在这些随机变量上，让 $A$表示声明$X$和$Y$是独立的随机变量和$B$声明$X$和$Y$是不相关的随机变量，即$E[XY] = E[X]E[Y]$. 然后我们知道$A$暗示$B$，即独立随机变量是不相关的随机变量。事实上，独立随机变量的一个定义是 $E[g(X)h(Y)]$等于$E[g(X)]E[h(Y)]$对于所有可测量的函数$g(\cdot)$ 和$h(\cdot)$）。这通常表示为

$$A \implies B.$$ 但$A \implies B$逻辑上等价于$\neg B \implies \neg A$， 那是，

相关随机变量是因随机变量。

如果$E[XY]$,$E[X]$或者$E[Y]$不是有限的或不存在的，那么就不能说是否$X$和$Y$不相关或不相关的随机变量的经典含义是那些$E[XY] = E[X]E[Y]$. 例如， $X$和$Y$可能是独立的柯西随机变量（其均值不存在）。它们是经典意义上的不相关随机变量吗？

这是一个纯粹的逻辑证明。如果$A\rightarrow B$那么必然$\neg B \rightarrow \neg A$，因为两者是等价的。因此，如果$\neg B$然后$\neg A$. 现在更换$A$具有独立性和$B$有相关性。

想想“如果火山爆发就会造成损失”的说法。现在考虑一个没有损害的情况。显然火山没有喷发，否则我们就会有矛盾。

同样，考虑一个案例“如果独立$X,Y$, 然后不相关$X,Y$”。现在，考虑以下情况$X,Y$是相关的。显然它们不可能是独立的，因为如果它们是独立的，它们也将是相关的。从而得出依赖。