set.seed(20); y = rnorm(20); x = y + rnorm(20, 0, 0.2) # generate correlated data
summary(lm(y ~ x))                  # original model
summary(lm(y ~ x, offset= 1.00*x))  # testing against slope=1
summary(lm(y-x ~ x))                # testing against slope=1

输出：

            Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)    
(Intercept)  0.01532    0.04728   0.324     0.75    
x            0.91424    0.04128  22.148 1.64e-14 ***

            Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)  
(Intercept)  0.01532    0.04728   0.324   0.7497  
x           -0.08576    0.04128  -2.078   0.0523 .

            Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)  
(Intercept)  0.01532    0.04728   0.324   0.7497  
x           -0.08576    0.04128  -2.078   0.0523 .

您的假设可以表示为其中是您的回归系数，是限制矩阵，其中是限制。如果我们的模型是$R\beta=r$$\beta$$R$$r$

然后对于假设， 和。$\beta_1=0$$R=[0,1]$$r=1$

对于这些类型的假设，您可以使用linearHypothesis包car中的函数：

set.seed(20); y = rnorm(20); x = y + rnorm(20, 0, 0.2) # generate correlated data
mod <- lm(y ~ x))                  # original model


> linearHypothesis(mod,matrix(c(0,1),nrow=1),rhs=c(1))
Linear hypothesis test

Hypothesis:
x = 1

Model 1: restricted model
Model 2: y ~ x

  Res.Df     RSS Df Sum of Sq      F  Pr(>F)  
1     19 0.96022                              
2     18 0.77450  1   0.18572 4.3162 0.05234 .
---
Signif. codes:  0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘.’ 0.1 ‘ ’ 1 

看来您仍在尝试拒绝零假设。这样做有很多问题，其中最重要的是你可能没有足够的能力看到你与 1 不同。听起来你不在乎斜率与 0.07 不同1. 但是如果你真的说不出来怎么办？如果您实际上正在估计一个变化很大的斜率，并且实际上可能与 1 相差甚远，置信区间为 ±0.4，该怎么办。您最好的策略不是更改零假设，而是实际上合理地谈论区间估计。如果将命令 confint() 应用于模型，则可以在斜率周围获得 95% 的置信区间。然后你可以用它来讨论你得到的斜率。如果 1 在置信区间内，您可以声明它在您认为可能包含真实值的值范围内。但更重要的是，您还可以说明该值的范围是什么。

测试的重点是您要拒绝零假设，而不是确认它。没有显着差异的事实绝不是不存在显着差异的证据。为此，您必须定义您认为合理的拒绝 null 的效果大小。

测试您的斜率是否与 1 显着不同并不难，您只需测试差异是否与零显着不同。手动这将是这样的：$slope - 1$

set.seed(20); y = rnorm(20); x = y + rnorm(20, 0, 0.2)
model <- lm(y~x)

coefx <- coef(summary(model))[2,1]
seslope <- coef(summary(model))[2,2]
DF <- model$df.residual

# normal test
p <- (1 - pt(coefx/seslope,DF) )*2
# test whether different from 1
p2 <- (1 - pt(abs(coefx-1)/seslope,DF) )*2

现在您应该意识到差异变得显着的效应大小是

> qt(0.975,DF)*seslope
[1] 0.08672358

前提是我们对斜率的标准误差有一个不错的估计。因此，如果您决定仅应从 0.1 检测到显着差异，则可以按如下方式计算必要的 DF：

optimize(
    function(x)abs(qt(0.975,x)*seslope - 0.1),
    interval=c(5,500)
) 
$minimum
[1] 6.2593

请注意，这很大程度上取决于对坡度的估计。为了更好地估计 seslope，您可以对数据进行重新采样。一种天真的方法是：

n <- length(y)
seslope2 <-
  mean(
    replicate(n,{
      id <- sample(seq.int(n),1)
      model <- lm(y[-id]~x[-id])
      coef(summary(model))[2,2]
    })
  )

将 seslope2 放入优化函数中，返回：

$minimum
[1] 6.954609

所有这些都会告诉您，您的数据集将比您认为必要的速度更快地返回显着结果，并且如果您想确保非显着性意味着您想要的结果，您只需要 7 个自由度（在本例中为 9 个观察值）方法。