我们不能在这里选择。“归一化”因子本质上是一个“方差稳定到有限的东西”因子，以便表达式不会随着样本量趋于无穷大而趋于零或趋于无穷大，而是保持分布在极限处。

所以它必须是在每种情况下它必须是什么。当然有趣的是，在许多情况下，它必须是$\sqrt n$. （但另请参阅下面@whuber 的评论）。

标准化因子必须为的标准示例 $n$， 而不是$\sqrt n$是我们有模型的时候

$$y_t = \beta y_{t-1} + u_t, \;\; y_0 = 0,\; t=1,...,T$$

和$u_t$白噪声，我们估计未知数$\beta$ 通过普通最小二乘法。

如果发生这种情况，系数的真实值是$|\beta|<1$, 那么 OLS 估计量是一致的并且收敛于通常的$\sqrt n$速度。

但如果相反，真正的价值是$\beta=1$（即我们实际上有一个纯粹的随机游走），那么 OLS 估计量是一致的，但会以“更快”的速度收敛$n$（这有时被称为“超一致”估计器 - 因为，我猜，这么多估计器以速率收敛$\sqrt n$）。
在这种情况下，为了获得它的（非正态）渐近分布，我们必须缩放$(\hat \beta - \beta)$经过$n$（如果我们仅按$\sqrt n$表达式将变为零）。汉密尔顿第 17 章有详细信息。

您对样本均值方差的直觉是正确的。重新安排条件：

$$\sqrt{n}(U_n - \theta) \to N(0,v)$$ $$(U_n - \theta) \to \frac{N(0,v)}{\sqrt{n}}$$ $$U_n \to N(\theta,\frac{v}{n})$$

最后一个等式是非正式的。然而，它在某种程度上更直观：你说的偏差$U_n$从$\theta$变得更像正态分布时$n$增加。方差在缩小，但形状变得更接近正态分布。

在数学中，他们没有定义收敛到不断变化的右手边（$n$是变化的）。这就是为什么同样的想法被表达为你给出的原始条件。其中右手边是固定的，左手边会聚到它上面。