这是三种不同的方法，不能将它们视为另一种的特例。

形式上，如果和是居中预测（）和响应（）数据集，如果我们寻找第一对轴，为和对于，那么这些方法最大化以下数量：$\mathbf X$$\mathbf Y$$n \times p$$n\times q$$\mathbf w \in \mathbb R^p$$\mathbf X$$\mathbf v \in \mathbb R^q$$\mathbf Y$

$$\begin{align} \mathrm{PCA:}&\quad \operatorname{Var}(\mathbf{Xw}) \\ \mathrm{RRR:}&\quad \phantom{\operatorname{Var}(\mathbf {Xw})\cdot{}}\operatorname{Corr}^2(\mathbf{Xw},\mathbf {Yv})\cdot\operatorname{Var}(\mathbf{Yv}) \\ \mathrm{PLS:}&\quad \operatorname{Var}(\mathbf{Xw})\cdot\operatorname{Corr}^2(\mathbf{Xw},\mathbf {Yv})\cdot\operatorname{Var}(\mathbf {Yv}) = \operatorname{Cov}^2(\mathbf{Xw},\mathbf {Yv})\\ \mathrm{CCA:}&\quad \phantom{\operatorname{Var}(\mathbf {Xw})\cdot {}}\operatorname{Corr}^2(\mathbf {Xw},\mathbf {Yv}) \end{align}$$

（我在此列表中添加了典型相关分析 (CCA)。）

---

我怀疑这种混淆可能是因为在 SAS 中，所有三种方法似乎都是通过PROC PLS具有不同参数的相同函数实现的。因此，这三种方法似乎都是 PLS 的特殊情况，因为这就是 SAS 函数的命名方式。然而，这只是一个不幸的命名。实际上，PLS、RRR 和 PCR 是三种不同的方法，它们恰好在 SAS 中实现在一个函数中，由于某种原因被调用PLS。

您链接到的两个教程实际上都非常清楚这一点。演示教程的第 6 页说明了所有三种方法的目标，并且没有说 PLS“变成”RRR 或 PCR，这与您在问题中声称的相反。同样，SAS 文档解释了三种不同的方法，给出了公式和直觉：

[P]主成分回归选择尽可能多地解释预测变量变化的因素，降秩回归选择尽可能多解释响应变量的因素，偏最小二乘法平衡两个目标，寻找解释响应变量和预测变量变化的因素.

SAS 文档中甚至有一个图显示了一个很好的玩具示例，其中三种方法给出了不同的解决方案。在这个玩具示例中，有两个预测变量和以及一个响应变量。中与最相关的方向恰好与中最大方差的方向正交。因此 PC1 与第一个 RRR 轴正交，PLS 轴介于两者之间。$x_1$$x_2$$y$$X$$y$$X$

可以向 RRR 损失函数添加岭惩罚，以获得岭降秩回归或 RRRR。这会将回归轴拉向 PC1 方向，有点类似于 PLS 正在做的事情。但是，RRRR 的成本函数不能写成 PLS 形式，因此它们保持不同。

请注意，当只有一个预测变量时，CCA = RRR = 通常回归。$y$