考虑一组正态分布的随机数：

x <- rnorm(n=1000, mean=10)

我们想知道平均值和平均值的标准误差，因此我们执行以下操作：

se <- function(x) { sd(x)/sqrt(length(x)) }
mean(x) # something near 10.0 units
se(x)   # something near 0.03 units

伟大的！

但是，假设我们不一定知道我们的原始分布遵循正态分布。我们对数据进行对数转换并执行相同的标准误差计算。

z <- log(x, base=10)
mean(z) # something near 1 log units
se(z)   # something near 0.001 log units

很酷，但是现在我们需要进行反向转换以得到单位而不是对数单位的答案。

10^mean(z) # something near 10.0 units
10^se(z)   # something near 1.00 units

我的问题：对于正态分布，为什么标准误差会根据它是从分布本身计算得出还是经过变换、计算和反变换而有所不同？注意：无论转换如何，均值相同。

编辑#1：最终，我有兴趣计算非正态分布数据的均值和置信区间，所以如果您可以就如何计算转换数据的 95% CI 提供一些指导，包括如何反向转换到其原生单位， 我会很感激！
结束编辑#1

编辑#2：我尝试使用分位数函数来获得 95% 的置信区间：

quantile(x, probs = c(0.05, 0.95))     # around [8.3, 11.6]
10^quantile(z, probs = c(0.05, 0.95))  # around [8.3, 11.6]

所以，这收敛在同一个答案上，这很好。但是，使用这种方法并不能使用具有“小”样本量的非正态数据提供完全相同的区间：

t <- rlnorm(10)
mean(t)                            # around 1.46 units
10^mean(log(t, base=10))           # around 0.92 units
quantile(t, probs = c(0.05, 0.95))                     # around [0.211, 4.79]
10^(quantile(log(t, base=10), probs = c(0.05, 0.95)))  # around [0.209, 4.28]

哪种方法会被认为“更正确”。我假设人们会选择最保守的估计？

例如，您是否会将非正态数据 (t) 的此结果报告为具有 0.92 个单位的平均值和 [0.211, 4.79] 的 95% 置信区间？
结束编辑#2

谢谢你的时间！