在 Kjetil 的回答鼓励下对文献进行了一些挖掘之后，除了 Y. Sinai 的书之外，我发现了一些确实认真对待 CLT 的几何/动力系统方法的参考资料。我正在为可能感兴趣的其他人发布我发现的内容，但我仍然希望从专家那里听到这种观点的价值。

最显着的影响似乎来自查尔斯·斯坦的作品。但对我的问题最直接的回答似乎来自 Hamedani 和 Walter，他们对分布函数的空间进行了度量，并表明卷积会产生收缩，从而产生作为唯一不动点的正态分布。

• M. Anshelevich，自由概率论中中心极限算子的线性化，arXiv:math/9810047v2。
• LHY Chen、L. Goldstein 和 Q. Shao，Stein 方法的正态近似，Springer，2011。
• JA Goldstein，中心极限定理和其他分析定理的半群理论证明，半群论坛 12（1976 年），第 1 期。3, 189–206。
• GG Hamedani 和 GG Walter，不动点定理及其在中心极限定理中的应用，Arch。数学。(巴塞尔) 43 (1984), 没有。3, 258–264。
• S. Swaminathan，中心极限定理的定点理论证明，定点理论和应用（马赛，1989 年），Pitman Res。笔记数学。序列号，卷。252，朗文科学。技术，Harlow，1991，第 391-396 页。引自 Karl Stromberg，Probability for Analysts，第 114 页。

添加于 2018 年 10 月 19 日。

这种观点的另一个来源是 Oliver Knill 的概率和随机过程与应用程序，p。11（重点补充）：

马尔可夫过程经常被马尔可夫算子的不动点所吸引。这样的固定点称为静止状态。它们描述了平衡，并且通常是具有最大熵的度量。一个例子是马尔可夫算子$P$，它分配给概率密度$f_y$的概率密度$f_{\overline{Y+X}}$在哪里$\overline{Y+X}$是随机变量$Y + X$归一化，使其具有均值$0$和方差$1$. 对于初始函数$f= 1$， 功能$P^n(f_X)$是分布$S^{*}_n$的归一化总和$n$IID 随机变量$X_i$. 这个马尔可夫算子有一个独特的平衡点，即标准正态分布。它在具有方差的实线上的所有分布中具有最大熵$1$和意思$0$. 中心极限定理告诉马尔可夫算子$P$ 如果一个人在分布上采用较弱的收敛拓扑，则正态分布作为一个唯一的吸引不动点$\mathcal{L}^1$. 这也适用于其他情况。例如，对于圆值随机变量，均匀分布使熵最大化。因此，以均匀分布为极限分布的圆值随机变量存在中心极限定理也就不足为奇了。

Y Sinai (Springer) 的“概率论入门课程”一文以这种方式讨论了 CLT。

http://www.springer.com/us/book/9783662028452

这个想法是（从记忆中......）

1) 正态分布最大化熵（在具有固定方差的分布中） 2) 平均算子$A(x_1,x_2) = \frac{x_1+x_2}{\sqrt{2}}$保持方差并增加熵……剩下的就是技术。因此，您将获得算子迭代的动态系统设置。

好问题；我经常想知道这一点。在我们的论文动态吸引力对稳定过程中解释了一个有点相关的想法，安。研究所。H.庞加莱普罗巴布。统计学家。第 48 卷，第 2 期，2012 年，第 551-578 页（Albert Fisher 和 Marina Talet）参见https://www.ime.usp.br/~afisher/ 这个想法是将列维关于稳定过程（包括高斯）的“吸引力域”的概率概念转化为实际的动力学。我们这样做是为了完全稳定的过程，而不仅仅是为了稳定的分布，因为这些自相似过程的缩放特性具有动态解释：它是无限熵的伯努利流。然后，在吸引力域中具有增量的随机游走会收敛到这一点，因为步行路径是该流程的通用点。我们本身不使用收缩映射，但看看类似的东西是否有用是一个有趣的问题。（我们的定理证明了对数密度很小；定期变化的情况特别棘手，我们必须应用适当的时间变化）。

使用流程的优点是有一个实际的流程。对于高斯分布，这不仅是傅里叶变换的固定点，而且是卷积算子（适当重新缩放）的固定点。第一个很有趣，但迭代没有任何帮助，因为它是一种内卷：应用它两次会让你回来。卷积真的很有意义，因为这只是随机游走的分布。然而，它是一个半群动作，从动力学的角度来看，它没有流动那么甜。