连续分布的矩以及它们的函数（如峰态）对它的密度函数图几乎没有什么影响。

例如，考虑以下图表。

的非负函数的图：它们都是 PDF。此外，它们都有完全相同的时刻——每一个最后的无限数量。因此，它们共享一个共同的峰度（恰好等于。）$1$$-3+3 e^2+2 e^3+e^4$

这些函数的公式是

$$f_{k,s}(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}x} \exp\left(-\frac{1}{2}(\log(x))^2\right)\left(1 + s\sin(2 k \pi \log(x)\right)$$

对于和$x \gt 0,$ $-1\le s\le 1,$$k\in\mathbb{Z}.$

该图在左侧的值，在顶部左列显示标准对数正态分布的 PDF。$s$$k$

Kendall 的高级统计理论（Stuart & Ord，第 5 版）中的练习 6.21要求读者证明这些都有相同的时刻。

人们可以类似地修改任何pdf 以创建另一个形状完全不同但具有相同的第二和第四中心矩（例如）的 pdf，因此具有相同的峰度。仅从这个例子就应该非常清楚，峰度不是对称、单峰、双峰、凸度或任何其他熟悉的曲线几何特征的易于解释或直观的度量。

因此，矩函数（以及作为特例的峰度）不描述 pdf 图形的几何特性。这在直觉上是有道理的：因为 pdf 通过面积表示概率，我们几乎可以自由地将概率密度从一个位置转移到另一个位置，从根本上改变 pdf 的外观，同时固定任何有限数量的预先指定的矩。

[注意，这是针对现场另一个问题而写的；答案已合并到当前问题。这就是为什么这个答案似乎回应了一个措辞不同的问题。然而，这篇文章的大部分内容都应该与这里相关。]

峰度并不能真正衡量分布的形状。也许在某些分布族中，您可以说它描述了形状，但更一般地说，峰度并不能告诉您太多关于实际形状的信息。形状受到许多因素的影响，包括与峰度无关的因素。

如果一个图像搜索峰度，就会出现很多这样的图像：

相反，它似乎显示出变化的方差，而不是增加峰度。为了比较，这是我刚刚绘制的三个正常密度（使用 R），具有不同的标准偏差：

如您所见，它看起来与上一张图片几乎相同。这些都具有完全相同的峰度。相比之下，这里的示例可能更接近图表的目标

绿色曲线更尖且尾部更重（尽管此显示不太适合查看尾部实际重多少）。蓝色曲线的尖峰较少，尾巴很轻（实际上它根本没有尾巴$\sqrt{6}$均值的标准差）。

这通常是人们谈论表示密度形状的峰度时的意思。然而，峰态可能是微妙的——它不必像那样工作。

例如，在给定的方差下，较高的峰度实际上可能会以较低的峰值出现。

还必须注意零超峰度意味着正常的诱惑（并且在很多书中公开声明）。有些分布的峰度为 0，与正常情况完全不同。这是一个例子：

确实，这也说明了前一点。我可以很容易地构建一个类似的分布，其峰度比正常值高，但在中心仍然为零 - 完全没有峰值。

网站上有许多帖子进一步描述了峰态。一个例子是here。

对于对称分布（即偶数中心矩有意义的分布），峰度测量基础 pdf 的几何特征。峰度测量（或通常相关）分布的峰值是不正确的。相反，峰度测量基础分布与对称和 双峰的距离（代数上，完美对称和双峰分布的峰度为 1，这是峰度可能具有的最小可能值）[0]。

简而言之[1]，如果您定义：

$$k=E(x-\mu)^4/\sigma^4$$

和$E(X)=\mu,V(X)=\sigma^2$， 然后

$$k=V(Z^2)+1\ge1$$

为了$Z=(X-\mu)/\sigma$.

这意味着$k$可以看作是分散度的度量$Z^2$围绕它的期望 1。换句话说，如果你对方差和期望有几何解释，那么峰态就会随之而来。

[0] RB 达灵顿 (1970)。峰度真的是“峰值”吗？美国统计学家，卷。24 号，第 2 号。

[1] JJA Moors (1986). 峰度的意义：重新审视达林顿。美国统计学家，第 40 卷，第 4 期。

另一种答案：我们可以使用来自http://www.quantdec.com/envstats/notes/class_06/properties.htm的想法以几何方式说明峰态：图形时刻。

从峰度的定义开始：

$$\DeclareMathOperator{\E}{\mathbb{E}} k = \E \left( \frac{X-\mu}{\sigma} \right)^4 =\int \left(\frac{x-\mu}{\sigma}\right)^4 f(x) \; dx$$ 在哪里$f$是密度$X$,$\mu, \sigma^2$分别是期望和方差。积分符号下的非负函数积分到峰度，并从周围对峰度做出贡献$x$. 我们可以将其称为峰态密度，并将其绘制成图形显示峰态。（请注意，在这篇文章中，我们没有使用过度峰度 $k_e=k-3$完全）。

在下文中，我将展示一些对称分布的图形峰度图，所有分布均以零为中心并缩放为方差为 1。

请注意，中心对峰度的贡献实际上不存在，表明峰度与“峰度”没有太大关系。