这可以使用来自的 sinh-arcsinh 变换来完成

琼斯，MC 和 Pewsey A.（2009 年）。Sinh-arcsinh 分布。生物计量学 96：761-780。

转换定义为

$$H(x;\epsilon,\delta)=\sinh[\delta\sinh^{-1}(x)-\epsilon], \tag{$\star$}$$

在哪里$\epsilon \in{\mathbb R}$和$\delta \in {\mathbb R}_+$. 当将此变换应用于普通 CDF 时$S(x;\epsilon,\delta)=\Phi[H(x;\epsilon,\delta)]$，它产生一个单峰分布，其参数$(\epsilon,\delta)$在van Zwet (1969)的意义上，分别控制偏度和峰度 (Jones and Pewsey, 2009 ) 。此外，如果$\epsilon=0$和$\delta=1$，我们得到原始的正态分布。请参阅以下 R 代码。

fs = function(x,epsilon,delta) dnorm(sinh(delta*asinh(x)-epsilon))*delta*cosh(delta*asinh(x)-epsilon)/sqrt(1+x^2)

vec = seq(-15,15,0.001)

plot(vec,fs(vec,0,1),type="l")
points(vec,fs(vec,1,1),type="l",col="red")
points(vec,fs(vec,2,1),type="l",col="blue")
points(vec,fs(vec,-1,1),type="l",col="red")
points(vec,fs(vec,-2,1),type="l",col="blue")

vec = seq(-5,5,0.001)

plot(vec,fs(vec,0,0.5),type="l",ylim=c(0,1))
points(vec,fs(vec,0,0.75),type="l",col="red")
points(vec,fs(vec,0,1),type="l",col="blue")
points(vec,fs(vec,0,1.25),type="l",col="red")
points(vec,fs(vec,0,1.5),type="l",col="blue")

因此，通过选择适当的参数序列$(\epsilon_n,\delta_n)$，您可以生成一系列具有不同偏度和峰度的分布/变换，并使它们看起来与您想要的正态分布相似或不同。

下图显示了 R 代码产生的结果。对于（一） $\epsilon=(-2,-1,0,1,2)$和$\delta=1$, 和(ii) $\epsilon=0$和$\delta=(0.5,0.75,1,1.25,1.5)$.

这个分布的模拟很简单，因为您只需要使用 的倒数来转换一个正态样本$(\star)$.

$$H^{-1}(x;\epsilon,\delta)=\sinh[\delta^{-1}(\sinh^{-1}(x)+\epsilon)]$$

这可以使用 Lambert W x F 随机变量/分布来完成。Lambert W x F 随机变量 (RV) 是具有分布 F 的非线性变换 (RV) X。

对于 F 是正态分布和$\alpha = 1$，它们减少到 Tukey 的 h 分布。Lambert W x F 分布的优点是您也可以再次从非正态返回到正态；即，您可以估计参数和Gaussianize()数据。

它们在

Lambert W x F 变换有 3 种风格：

• type = 's'带偏度参数的偏斜 ( )$\gamma \in R$
• type = 'h'带尾参数的重尾 ( )$\delta \geq 0$（和可选的$\alpha$)
• type = 'hh'带有左/右尾参数的 倾斜和重尾 ( )$\delta_l, \delta_r \geq 0$

请参阅有关倾斜和重尾的参考资料（免责声明：我是作者。）

在 R 中，您可以使用LambertW包模拟、估计、绘制等多个 Lambert W x F 分布。

library(LambertW)
library(RColorBrewer)
# several heavy-tail parameters
delta.v <- seq(0, 2, length = 11)
x.grid <- seq(-5, 5, length = 100)
col.v <- colorRampPalette(c("black", "orange"))(length(delta.v))

plot(x.grid, dnorm(x.grid), lwd = 2, type = "l", col = col.v[1],
     ylab = "")
for (ii in seq_along(delta.v)) {
  lines(x.grid, dLambertW(x.grid, "normal", 
                          theta = list(delta = delta.v[ii], beta = c(0, 1))),
        col = col.v[ii])
}
legend("topleft", paste(delta.v), col = col.v, lty = 1,
       title = "delta = ")

对于一系列$\gamma$添加偏度。如果你想添加偏度和重尾然后生成一个序列$\delta_l$和$\delta_r$.

一个这样的序列是不同程度的指数。例如

library(moments)
x <- rnorm(1000) #Normal data
x2 <- 2^x #One transformation
x3 <- 2^{x^2} #A stronger transformation
test <- cbind(x, x2, x3) 
apply(test, 2, skewness) #Skewness for the three distributions
apply(test, 2, kurtosis) #Kurtosis for the three distributions

你可以使用$x^{1.1}, x^{1.2} \dots x^2$以获得中等程度的转变。

与@user10525 相同的答案，但在 python 中

import numpy as np
from scipy.stats import norm
def sinh_archsinh_transformation(x,epsilon,delta):
    return norm.pdf(np.sinh(delta*np.arcsinh(x)-epsilon))*delta*np.cosh(delta*np.arcsinh(x)-epsilon)/np.sqrt(1+np.power(x,2))


vec = np.arange(start=-15,stop=15+0.001,step=0.001)

import matplotlib.pyplot as plt
plt.plot(vec,sinh_archsinh_transformation(vec,0,1))
plt.plot(vec,sinh_archsinh_transformation(vec,1,1),color='red')
plt.plot(vec,sinh_archsinh_transformation(vec,2,1),color='blue')
plt.plot(vec,sinh_archsinh_transformation(vec,-1,1),color='red')
plt.plot(vec,sinh_archsinh_transformation(vec,-2,1),color='blue')

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