概率生成函数通常用于（非负）整数值随机变量，但实际上只是矩生成函数的重新包装。所以两者包含相同的信息。

令为非负随机变量。然后（参见https://en.wikipedia.org/wiki/Probability-generating_function）概率生成函数定义为 和矩生成函数是 现在定义使得。那么 所以，总而言之，关系是简单： $X$

$$\DeclareMathOperator{\P}{\mathbb{P}} \DeclareMathOperator{\E}{\mathbb{E}} G(z) = \E z^X$$ $$M_X(t) = \E e^{t X}$$ $\log z=t$$e^t=z$ $$G(z)=\E z^X = \E (e^t)^X = \E e^{t X} =M_X(t)=M_X(\log z)$$ $$G(z) = M_X(\log z)$$

EDIT   

@Carl 在关于我的公式的评论中写道“......这是真的，除非它是假的”所以我需要一些评论。当然，等式假设两者都已定义，并且需要给出我认为没有那种形式的帖子就足够清楚了，但是是的，有时我太不正式了。但还有一点：是的，概率生成函数主要用于（非负参数）概率质量函数，名称由此而来。但是定义中没有任何东西假设这一点，它也可以用于任何非负随机变量！举个例子，以比率为 1 的指数分布，我们可以计算 $G(z) = M_X(\log z)$$z$

$$G(z)=\E z^X=\int_0^\infty z^x e^{-x}\; dx=\dots=\frac1{1-\log z}$$ 它可以用于所有目的，我们确实使用矩生成函数，您可以检查两个函数之间的关系是否得到满足。通常我们不这样做，对（可能）负变量和非负变量使用相同的定义可能更实用。但这不是数学所强迫的。

让我们先定义两者，然后指定差异。

1) 在概率论和统计学中，实值随机变量的矩生成函数(mgf) 是其概率分布的另一种规范。

2）在概率论中，离散随机变量的概率生成函数（pgf）是随机变量的概率质量函数的幂级数表示（生成函数）。

mgf 可以看作是 pgf 的推广。不同之处在于概率生成函数适用于离散随机变量，而矩生成函数适用于离散随机变量以及一些连续随机变量。例如，两者都可以应用于泊松分布，因为它是离散的。事实上，它们产生了相同形式的结果。$e^{\lambda(z - 1)}$. 只有 mgf 适用于正态分布，而 mgf 和 pgf 均不适用于 Cauchy 分布，但原因略有不同。

Edit

正如@kjetilbhalvorsen 指出的那样，pgf 适用于非负数，而不仅仅是离散随机变量。因此，目前维基百科中关于概率生成函数的条目存在遗漏错误，应予以改进。