下面的结果成立：如果是独立的取中的值，而是函数那么递归定义为$\epsilon_1, \epsilon_2, \ldots$$E$$f_1, f_2, \ldots$$f_n: F \times E \to F$$X_n$

$$X_n = f_n(X_{n-1}, \epsilon_n), \quad X_0 = x_0 \in F$$

中的开始的马尔可夫过程。的分布相同且所有函数相同，则该过程是时间齐次的。$(X_n)_{n \geq 0}$$F$$x_0$$\epsilon$$f$

AR(1) 和 VAR(1) 都是以这种形式给出的过程

$$f_n(x, \epsilon) = \rho x + \epsilon.$$

是独立同分布的，它们是齐次马尔可夫过程$\epsilon$

从技术上讲，空间和需要一个可测量的结构，并且函数必须是可测量的。有趣的是，如果空间是Borel 空间，则相反的结果成立。对于Borel 空间上的任何马尔可夫过程 ，在中存在 iid 均匀随机变量和函数使得概率为 1 参见 Kallenberg 中的命题 8.6，现代概率的基础。$E$$F$$f$$F$$(X_n)_{n \geq 0}$$F$$\epsilon_1, \epsilon_2, \ldots$$[0,1]$$f_n : F \times [0, 1] \to F$

$$X_n = f_n(X_{n-1}, \epsilon_n).$$

一个进程是一个 AR(1) 进程，如果$X_{t}$

$$X_{t} = c + \varphi X_{t-1} + \varepsilon_{t}$$

其中的错误，是独立同分布的。一个过程具有马尔可夫性质，如果$\varepsilon_{t}$

$$P(X_{t} = x_t | {\rm entire \ history \ of \ the \ process }) = P(X_{t}=x_t| X_{t-1}=x_{t-1})$$

从第一个方程的概率分布显然只取决于，所以，是的，一个 AR(1) 过程就是一个马尔可夫过程。$X_{t}$$X_{t-1}$

什么是马尔可夫过程？（松散地说）随机过程是一阶马尔可夫过程，如果条件

$$P\left [ X\left ( t \right )= x\left ( t \right ) | X\left ( 0 \right )= x\left ( 0 \right ),...,X\left ( t-1 \right )= x\left ( t-1 \right )\right ]=P\left [ X\left ( t \right )= x\left ( t \right ) | X\left ( t-1 \right )= x\left ( t-1 \right )\right ]$$

持有。过程的下一个值（即下一个值的分布）只依赖于当前过程值而不依赖于剩余历史，所以它是一个马尔科夫过程。当我们观察自回归过程的状态时，过去的历史（或观察）不提供任何额外的信息。因此，这意味着下一个值的概率分布不受我们关于过去的信息的影响（独立于）。$AR(1)$

VAR(1) 也是一阶多元马尔可夫过程。