如果您一直在寻找到上面下一个值的距离，并且如果您在处插入了一个额外的值，所以这总是有答案，那么使用旋转对称，这些距离的分布将与最小值的分布相同上的独立均匀随机变量。 $1$$D$$n+1$$[0,1]$

那将有等密度当。对于大和小 ，这个密度可以用来近似，解释你发现的指数形状。$P(D \le d) = 1-(1-d)^{n+1}$$f(d)=(n+1)(1-d)^n$$0 \le d \le 1$$n$$d$$f(d) \approx n e^{-nd}$

但是您的问题稍微复杂一些，因为您对与上方或下方最近值的有符号距离感兴趣。的 iid 指数随机变量中的最小值是具有速率的指数随机变量。负值的可能性。近似值实际上变成了拉普拉斯分布，其中记住这是针对大和小的（特别是真实密度为，除非$\lambda$$2\lambda$$d$

在的情况下，密度的近似值看起来像这样，与模拟数据的形状相匹配。$n=10^6$

当时，中的所有实数。因此，从中最接近的数字的距离将接近 0，因为。距离分布接近Dirac delta 分布。$N \to \infty$$L_N$$(0,1)$$(0,1)$$L_N$$N \to \infty$$N \to \infty$

以下是一些模拟：

这是一个代码片段：

n <- 100000
Ln <- runif(n)

nSim <- 10000
distances <- rep(0,nSim)
for (i in 1:nSim){
  b <- runif(1)
  distances[i] <- min(abs(Ln-b))
}
hist(distances,main="N=100000")

有没有办法可以弄清楚这个分布到底是什么（对于大但有限的N）？

两个标准 Uniform 随机变量的差异是 Triangular(-1,0,1) 与 pdf上定义。$1-|x|$$(-1,1)$

的差异的绝对值：$f(x)$

重复练习次并取最小距离相当于找到父 pdf阶统计量，由下式给出：$n$$(1^{\text{st}})$$f(x)$

我正在使用 Mathematica的mathStatica包中的 OrderStat 函数来自动化细节，并且支持域是 (0,1)。该解决方案具有幂函数分布，其 pdf 格式为。$g(x) = a x^{a-1}$

下图比较了（红色虚线曲线）...与蒙特卡罗模拟（波浪形蓝色曲线）的精确 pdf 图：$g(x)$$n=10$

模拟：当您使用Mathematica进行模拟时，这是我在Mathematica中用于数据模拟的代码：

  data = Table[Min[Abs[RandomReal[{}, 10] - RandomReal[]]], 20000];

让你得到一个大于$d$作为您的结果，您的样本中的所有数字都必须是$d$远离$b$. 任何人发生这种情况的概率$x_0$只是范围之外的概率质量$b \pm d$. 叫那个$p_{outside}$. 所有人都发生这种情况的概率$x_i$在您的示例中是$(p_{outside})^N$. 如果$x_i$从单位区间中统一选择，则$p_{outside}$为了$b$多于$d$从边界将是$1-2d$，这给了$p_{outside}^N = (1-2d)^N$. 对于大$N$和小$d$, 可以近似为$e^{-2Nd}$.