这本质上是优惠券收集者问题的变体。

如果总共有n 个项目，并且您已使用替换$n$样本大小s ，则识别出u个唯一项目的概率为 Pr(U=u|n,s) = \frac{S_2(s,u) n! }{（怒）！n^s } 其中S_2(s,u)给出第二类斯特林数$s$$u$

$$Pr(U=u|n,s) = \frac{S_2(s,u) n! }{ (n-u)! n^s }$$ $S_2(s,u)$

现在您只需要$Pr(N=n)$的先验分布，应用贝叶斯定理，并获得$N$的后验分布。

我已经给出了基于第二类斯特林数和贝叶斯方法的建议。

对于那些发现斯特林数太大或贝叶斯方法太难的人，更粗略的方法可能是使用

$$E[U|n,s] = n\left( 1- \left(1-\frac{1}{n}\right)^s\right)$$

$$var[U|n,s] = n\left(1-\frac{1}{n}\right)^s + n^2 \left(1-\frac{1}{n}\right)\left(1-\frac{2}{n}\right)^s - n^2\left(1-\frac{1}{n}\right)^{2s}$$

并使用数值方法进行反算。

例如，以 GaBorgulya 的 和观察到的为例，这可能会给我们估计总体的。$s=300$$U = 265$$\hat{n} \approx 1180$

如果那是总体，那么它会给我们一个大约 25 的方差，并且 265 两侧的任意两个标准差将是大约 255 和 275（正如我所说，这是一个粗略的方法）。255 会为我们提供大约 895 的估计值，而 275 会给出大约 1692 的估计值。示例的 1000 可以轻松地在此区间内。 $U$$n$

您可以使用capture-recapture 方法，该方法也作为Rcapture R 包实现。

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这是一个用 R 编码的示例。假设 Web 服务有 N=1000 个项目。我们将发出 n=300 个请求。生成一个随机样本，将元素编号从 1 到 k，其中 k 是我们看到的不同项目的数量。

N = 1000; population = 1:N # create a population of the integers from 1 to 1000
n = 300 # number of requests
set.seed(20110406)
observation = as.numeric(factor(sample(population, size=n,
  replace=TRUE))) # a random sample from the population, renumbered
table(observation) # a table useful to see, not discussed
k = length(unique(observation)) # number of unique items seen
(t = table(table(observation)))

模拟的结果是

  1   2   3 
234  27   4 

因此，在 300 个请求中，有 4 个项目被查看了 3 次，27 个项目被查看了两次，234 个项目只被查看了一次。

现在从这个样本中估计 N：

require(Rcapture)
X = data.frame(t)
X[,1]=as.numeric(X[,1])
desc=descriptive(X, dfreq=TRUE, dtype="nbcap", t=300)
desc # useful to see, not discussed
plot(desc) # useful to see, not discussed
cp=closedp.0(X, dfreq=TRUE, dtype="nbcap", t=300, trace=TRUE)
cp

结果：

Number of captured units: 265 

Abundance estimations and model fits:
                  abundance       stderr      deviance   df           AIC
M0**                  265.0          0.0  2.297787e+39  298  2.297787e+39
Mh Chao              1262.7        232.5  7.840000e-01    9  5.984840e+02
Mh Poisson2**         265.0          0.0  2.977883e+38  297  2.977883e+38
Mh Darroch**          553.9         37.1  7.299900e+01  297  9.469900e+01
Mh Gamma3.5**  5644623606.6  375581044.0  5.821861e+05  297  5.822078e+05

 ** : The M0 model did not converge
 ** : The Mh Poisson2 model did not converge
 ** : The Mh Darroch model did not converge
 ** : The Mh Gamma3.5 model did not converge
Note: 9 eta parameters has been set to zero in the Mh Chao model

因此只有 Mh Chao 模型收敛，它估计 =1262.7。 $\hat{N}$

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编辑：为了检查上述方法的可靠性，我在 10000 个生成的样本上运行了上述代码。Mh Chao 模型每次都收敛。这是摘要：

> round(quantile(Nhat, c(0, 0.025, 0.25, 0.50, 0.75, 0.975, 1)), 1)
    0%   2.5%    25%    50%    75%  97.5%   100% 
 657.2  794.6  941.1 1034.0 1144.8 1445.2 2162.0 
> mean(Nhat)
[1] 1055.855
> sd(Nhat)
[1] 166.8352