机器算法验证 - Wishart矩阵的对数行列式的期望值 - 吾爱随笔录

设，即根据平均和自由度维 Wishart 分布分布。我想要的表达式，其中是决定因素。 $\Lambda \sim \mathcal W_D(\nu, \Psi)$ $D \times D$ $\nu \Psi$ $\nu$ $E(\log |\Lambda|)$ $|\Lambda|$

我已经在谷歌上搜索了一些答案，并得到了一些相互矛盾的信息。本文明确指出其中表示二伽马函数；据我所知，该论文没有提供这一事实的来源。这也是Wishart 的维基百科页面上使用的公式，该页面包含Bishop 的模式识别文本。

E (\log | Λ |) = D \log 2 + \log | Ψ | + \sum_{i = 1}^{D} ψ (\frac{ν - i + 1}{2})

$E(\log|\Lambda|) = D \log 2 + \log |\Psi| + \sum_{i = 1} ^ D \psi\left(\frac{\nu - i + 1} 2\right)$

ψ (\cdot)

$\psi(\cdot)$

\frac{d}{d x} \log Γ (x)

$\frac d {dx} \log \Gamma(x)$

另一方面，谷歌通过一篇链接的论文提出了这个讨论，该论文指出他们总结说由。我从开始检查了这个计算，看起来没问题，但是我们有一个额外的。

ν^{D} \frac{| Λ |}{| Ψ |} \sim χ_{ν}^{2} χ_{ν - 1}^{2} \dots χ_{ν - D + 1}^{2} . (†)

$\nu^D \frac{|\Lambda|}{|\Psi|} \sim \chi^2_\nu \chi^2_{\nu - 1} \cdots\chi^2_{\nu - D + 1}. \qquad (\dagger)$

E (\log | Λ |) = D \log 2 - D \log ν + \log | Ψ | + \sum_{i = 1}^{D} ψ (\frac{ν - i + 1}{2})

$E(\log | \Lambda|) = D \log 2 - D \log \nu + \log |\Psi| + \sum_{i = 1} ^ D \psi\left(\frac{\nu - i + 1} 2\right)$

E (\log χ_{ν}^{2}) = \log (2) + ψ (ν / 2)

$E(\log \chi^2_\nu) = \log(2) + \psi(\nu /2)$

(†)

$(\dagger)$

- D \log ν

$-D\log\nu$