机器算法验证 - 重复测量方差分析：什么是正态假设？ - 吾爱随笔录

重复测量方差分析：什么是正态假设？

机器算法验证方差分析重复测量假设正态假设

2022-02-01 00:00:28

我对重复测量方差分析中的正态假设感到困惑。具体来说，我想知道究竟应该满足什么样的常态。在阅读有关 CV 的文献和答案时，我遇到了这个假设的三个不同的措辞。

每个（重复的）条件内的因变量应该是正态分布的。

人们经常说 rANOVA 具有与 ANOVA 相同的假设，外加球形度。这就是Field 的Discovering 统计数据以及 Wikipedia关于该主题的文章和Lowry 的文本中的主张。
残差（所有可能对之间的差异？）应该是正态分布的。

我在 CV ( 1 , 2 )的多个答案中找到了这个陈述。通过将 rANOVA 类比为配对 t 检验，这似乎也很直观。
应满足多元正态性。

维基百科和这个来源提到了这一点。另外，我知道 rANOVA 可以与 MANOVA交换，这可能值得这个说法。

这些在某种程度上是等价的吗？我知道多元正态性意味着DV 的任何线性组合都是正态分布的，所以 3. 自然会包括 2. 如果我正确理解后者。

如果这些不相同，那么 rANOVA 的“真实”假设是什么？你能提供一个参考吗？

在我看来，第一个主张得到了大多数人的支持。但是，这与通常在此处提供的答案不一致。

线性混合模型

由于@utobi 的提示，我现在了解如何将 rANOVA 重新表述为线性混合模型。具体来说，为了模拟血压如何随时间变化，我将预期值建模为：

E [y_{i j}] = a_{i} + b_{i} t_{i j},

$\mathrm{E}\left[y_{ij}\right]=a_{i}+b_i t_{ij},$ 在哪里

y_{i j}

$y_{ij}$ 是血压的测量值，

a_{i}

$a_{i}$ 的平均血压

i

$i$ -th 主题，和

t_{i j}

$t_{ij}$ 作为

j

$j$ - 第一次

i

$i$ - 测量对象，

b_{i}

$b_i$ 表示血压的变化也因受试者而异。这两种效应都被认为是随机的，因为受试者的样本只是人口的一个随机子集，这是人们最感兴趣的。

最后，我试图思考这对常态意味着什么，但收效甚微。套用 McCulloch 和 Searle (2001, p. 35. Eq. (2.14))：

\begin{aligned} E [y_{i j} | a_{i}] & = a_{i} \\ y_{i j} | a_{i} & \sim i n d e p . N (a_{i}, σ^{2}) \\ a_{i} & \sim i . i . d . N (a, σ_{a}^{2}) \end{aligned}

$\begin{align} \mathrm{E}\left[y_{ij}|a_i\right] &= a_i \\[5pt] y_{ij}|a_i &\sim \mathrm{indep.}\ \mathcal{N}(a_i,\sigma^2) \\[5pt] a_i &\sim \mathrm{i.i.d.}\ \mathcal{N}(a,\sigma_a^2) \end{align}$

我理解这意味着

4.每个人的数据都需要正态分布，但是时间点少，测试不合理。

我采取第三个表达的意思是

5.个别科目的平均值呈正态分布。请注意，这是在上述三种可能性之上的另外两种不同的可能性。

McCulloch，CE 和 Searle，SR（2001 年）。广义、线性和混合模型。纽约：约翰威利父子公司

2个回答

如果我们将其视为单变量模型，这是最简单的重复测量方差分析模型：

y_{i t} = a_{i} + b_{t} + ϵ_{i t}

$y_{it} = a_{i} + b_{t} + \epsilon_{it}$

在哪里 $i$ 代表每个案例和 $t$ 我们测量它们的时间（所以数据很长）。 $y_{it}$ 表示一个叠加的结果， $a_{i}$ 表示每种情况的平均值， $b_{t}$ 表示每个时间点的平均值，并且 $\epsilon_{it}$ 表示单个测量值与案例和时间点均值的偏差。您可以在此设置中包含其他中间因子作为预测变量。

我们不需要做出分布假设 $a_{i}$ ，因为它们可以作为固定效应、虚拟变量进入模型（与我们对线性混合模型所做的相反）。时间假人也会发生同样的情况。对于此模型，您只需将长形式的结果与人假人和时间假人进行回归。感兴趣的效果是时间虚拟变量， $F$ - 检验零假设的检验 $b_{1}=...=b_{t}=0$ 是单变量重复测量方差分析中的主要检验。

什么是必要的假设 $F$ - 测试行为是否恰当？与您的问题相关的是：

ϵ_{i t} \sim N (0, σ) these errors are normally distributed and homoskedastic

$\begin{equation} \epsilon_{it}\sim\mathcal{N}(0,\sigma)\quad\text{these errors are normally distributed and homoskedastic} \end{equation}$

有额外的（更重要的）假设 $F$ -测试是有效的，因为人们可以看到数据不是相互独立的，因为个体在行之间重复。

如果您想将重复测量 ANOVA 视为多变量模型，则正态性假设可能会有所不同，我无法将它们扩展到您和我在 Wikipedia 上看到的内容之外。

重复测量方差分析的正态性解释可以在这里找到：

理解重复测量方差分析假设以正确解释 SPSS 输出

您需要残差中因变量的正态性（这意味着所有组中的正态分布，具有共同方差和组相关平均值），如回归。
正如您所注意到的，多元正态性意味着因变量的所有线性组合都是正态分布的，因此它是比单个变量的正态性更强的概念（ $3 \rightarrow 1$ ）。但是，我不相信这意味着残差的正态性（ $3 \rightarrow 2$ )，给定的残差也由自变量（组，在 ANOVA 中）确定。我同意你的观点 $5$ ：您基本上是在谈论具有正态分布的个体级随机效应。

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