答案是不。例如，如果$X$是标准随机变量，则$Y=-X$遵循相同的统计量，但$X$和$Y$显然是相互依赖的。

不，没有理由相信任何两个标准高斯是独立的。

这是一个简单的数学结构。假设$X$和$Y$ 是两个独立的标准正态变量。然后这对

$$X, \frac{X + Y}{\sqrt{2}}$$

是两个因标准正态变量。因此，只要它们是两个独立的正态变量，就必须有两个因变量。

第二个变量是正态的，因为独立正态变量的任何线性组合又是正态的。是为了使方差等于。$\sqrt{2}$$1$

$$V \left(\frac{X + Y}{\sqrt{2}} \right) = \frac{1}{\sqrt{2}^2} (V(X) + V(Y)) = 1$$

直观地说，这些是相互依赖的，因为知道的值会为您提供额外的信息，您可以使用它来预测第二个变量的值。例如，如果你知道，那么第二个变量的条件期望是$X$$X = x$

$$E \left[\frac{X + Y}{\sqrt{2}} \mid X = x \right] = \frac{x}{\sqrt{2}}$$

这是一个相当广泛的答案：

令为联合高斯随机变量（即对于任何实数，具有高斯分布）。那么，和是独立的当且仅当（即它们不相关）。例如，请参阅这些注释以了解详细信息。$X,Y$$a,b$$a X + bY$$X$$Y$$E[(X-E[X])(Y-E[Y])]=0$

如何生成不独立的标准正态随机变量？选择你最喜欢的矩阵使得中有正根。然后，将 Cholesky 分解应用于。然后，取两个独立的标准正态随机变量，然后向量具有标准正态分量，但当且仅当时，分量才是独立的。$\Sigma=\begin{bmatrix} 1 & p \\ p & 1 \end{bmatrix}$$(\lambda-1)^2 - p^2$$\lambda$$\Sigma= R R^T$$U,V$$R \begin{bmatrix} U \\ V \end{bmatrix}$$p=0$

一个非双变量正态示例（正如 Michael Chernick 在评论中建议的那样）：

令。$f_{X,Y}(x,y) = \begin{cases} \frac{1}{\pi} e^{-\frac{x^2+y^2}{2}} & xy\geq 0 \\ 0 & o.w. \end{cases}$

这不是一个二元正态分布，而是一个简单的积分表明两个边缘都是标准正态分布。它们显然不是独立的，因为。$f_{X,Y}(x,y) \neq f_X(x) f_Y(y)$