没有任何内容表明标准偏差必须小于或大于平均值。给定一组数据，您可以保持均值不变，但通过适当地添加/减去正数来将标准偏差更改为任意程度。

使用@whuber 对问题的评论中的示例数据集：{2, 2, 2, 202}。正如@whuber 所说：平均值为 52，标准差为 100。

现在，扰动数据的每个元素如下：{22,22,22,142}。平均值仍为 52，但标准差为 60。

当然，这些都是独立的参数。您可以在 R（或您可能喜欢的其他工具）中设置简单的探索。

R> set.seed(42)     # fix RNG
R> x <- rnorm(1000) # one thousand N(0,1)
R> mean(x)          # and mean is near zero
[1] -0.0258244
R> sd(x)            # sd is near one
[1] 1.00252
R> sd(x * 100)      # scale to std.dev of 100
[1] 100.252
R> 

同样，您可以通过减去平均值并除以标准差来标准化您正在查看的数据 。

编辑并遵循@whuber 的想法，这里有一个无限的数据集，它们接近您的四个测量值：

R> data <- c(0, 2341.141, rep(52, 545))
R> data.frame(min=min(data), max=max(data), sd=sd(data), mean=mean(data))
  min     max      sd    mean
1   0 2341.14 97.9059 56.0898
R> 

我不确定@Andy 为何对这个结果感到惊讶，但我知道他并不孤单。我也不确定数据的正态性与 sd 高于平均值这一事实有什么关系。在这种情况下，生成一个正态分布的数据集非常简单；实际上，标准正态的平均值为 0，sd 为 1。很难获得所有正值的正态分布数据集，且 sd > mean；确实，这应该是不可能的（但这取决于样本量和您使用的正态性检验……样本非常小，会发生奇怪的事情）

但是，一旦您像@Andy 所做的那样删除了正态性规定，即使对于所有正值，sd 也没有理由应该大于或小于平均值。一个异常值将执行此操作。例如

x <- runif(100, 1, 200) x <- c(x, 2000)

给出 113 的平均值和 198 的标准差（当然取决于种子）。

但一个更大的问题是为什么这会让人们感到惊讶。

我不教统计学，但我想知道统计学的教学方式如何使这个概念变得普遍。

只是添加一个通用点，从微积分的角度来看， 和 通过Jensen 不等式相关，假设两个积分都存在, 鉴于这种普遍的不等式，没有什么能阻止方差变得任意大。用自由度 X \sim \ mathfrak观察学生的 t 分布 并取其二阶矩与的二阶矩相同，

$$\int x f(x) \text{d}x$$ $$\int x^2 f(x) \text{d}x$$ $$\int x^2 f(x) \text{d}x \ge \left\{ \int x f(x) \text{d}x \right\}^2\,.$$ $\nu$ $$X \sim \mathfrak{T}(\nu,\mu,\sigma)$$ $Y=|X|$$X$ $$\mathbb{E}[|X|^2] = \frac{\nu}{\nu-2}\sigma^2 + \mu^2,$$ 当。下降到时，它会变为无穷大，而只要的平均值就保持有限。$\nu>2$$\nu$$2$$Y$$\nu>1$