的确如此$\hat{q}$是有偏估计$q$在某种意义上说$\text{E}(\hat{q}) \neq q$，但你不应该让这阻止你。这个确切的场景可以用来批评我们应该始终使用无偏估计器的想法，因为这里的偏差更多是我们碰巧正在做的特定实验的产物。如果我们提前选择了样本数量，数据看起来与它们完全一样，那么为什么我们的推论会改变呢？

有趣的是，如果您以这种方式收集数据，然后写下二项式（固定样本量）和负二项式模型下的似然函数，您会发现两者成正比。这意味着$\hat{q}$只是负二项模型下的普通最大似然估计，当然是完全合理的估计。

并不是坚持最后一个样本是失败的，这会使估计有偏差，它取的是$N$

所以 $\mathbb{E}\left[\frac{N}{10}\right] =\frac{1}{q}$在你的例子中，但是 $\mathbb{E}\left[\frac{10}{N}\right] \not = q$. 这接近于比较算术平均值和调和平均值

坏消息是偏差会随着$q$变小了，虽然不是很多$q$已经很小了。好消息是，随着所需失败次数的增加，偏差会减少。看来如果你需要$f$失败，则偏差由上面的乘法因子限定$\frac{f}{f-1}$对于小$q$; 当您在第一次失败后停止时，您不想要这种方法

停止后$10$失败，与$q=0.01$你会得到$\mathbb{E}\left[\frac{N}{10}\right] = 100$但 $\mathbb{E}\left[\frac{10}{N}\right] \approx 0.011097$，而与$q=0.001$你会得到$\mathbb{E}\left[\frac{N}{10}\right] = 1000$但 $\mathbb{E}\left[\frac{10}{N}\right] \approx 0.001111$. 偏差大约为$\frac{10}{9}$乘法因子

作为 dsaxton 回答的补充，这里有一些 R 中的模拟，显示了$\hat{q}$什么时候$k=10$和$q_0 = 0.02$：

n_replications <- 10000
k <- 10
failure_prob <- 0.02
n_trials <- k + rnbinom(n_replications, size=k, prob=failure_prob)
all(n_trials >= k)  # Sanity check, cannot have 10 failures in < 10 trials

estimated_failure_probability <- k / n_trials
histogram_breaks <- seq(0, max(estimated_failure_probability) + 0.001, 0.001)
## png("estimated_failure_probability.png")
hist(estimated_failure_probability, breaks=histogram_breaks)
abline(v=failure_prob, col="red", lty=2, lwd=2)  # True failure probability in red
## dev.off()

mean(estimated_failure_probability)  # Around 0.022
sd(estimated_failure_probability)
t.test(x=estimated_failure_probability, mu=failure_prob)  # Interval around [0.0220, 0.0223]

看起来像$\mathbb{E}\left[ \hat{q}\right] \approx 0.022$，这是相对于可变性的相当小的偏差$\hat{q}$.