我猜想第一次推导一定是试图找到计算基本离散概率分布（例如二项式）的快速方法的副产品。那是对的吗？

是的。

正态曲线是由 DeMoivre 于 1733 年在数学上开发的，作为二项分布的近似值。他的论文直到 1924 年才被 Karl Pearson 发现。拉普拉斯在 1783 年使用正态曲线来描述误差的分布。随后，高斯在 1809 年用正态曲线分析天文数据。

来源：正常分布

具有历史背景的其他来源：

• 正态分布的演变
• 维基百科历史部分

如今，正态分布是大的二项式的近似值这一事实被认为是中心极限定理的特例。它可以在大多数教科书中找到，被认为是初级的。您可以在Wikipedia上找到证明。在产生的特征函数的一些泰勒展开之后，指数只是显示为。有时你仍然可以在教科书中找到二项式的特殊证明，这就是众所周知的DeMoivre-Laplace定理。$n$$e^x=\lim(1+\frac{x}{n})^n$$-\frac{t^2}{2}$

Stahl（“正态分布的演变”，数学杂志，2006 年）认为，正态分布的第一个历史痕迹来自赌博、二项式分布的近似值（用于人口统计）和天文学中的误差分析。

该问题的历史部分可能已经在此论坛上多次回答，例如，请参阅已接受的类似问题的答案。不，它不是作为离散分布的近似值被发现的。我怀疑当时甚至没有概率分布的概念。它是由现在被称为物理学家或数学家的人发现的，我猜当时是自然哲学家。

另一个文明如何发现正态分布是一个有趣的问题。任何研究过任何类型的错误和干扰的人都会发现它。它的发生使我们的文明在研究天体时发现了它。我怀疑其他人可能会在物理或数学之前开发统计数据。

正态分布的特别之处在于中心极限理论。有关详细信息和推导/证明，请参见： https ://en.wikipedia.org/wiki/Central_limit_theorem