您可能会在 CLR 坐标上遇到一些香草 PCA 问题。成分数据存在两个主要问题：

• 它们是严格非负的
• 他们有一个总和约束

各种组合变换解决了这些问题中的一个或两个。特别是，CLR 通过获取观察频率之间的比率的对数来转换您的数据${\bf x}$及其几何平均值$G({\bf x})$， IE

$$\hat{\bf{x}} = \left \{ \log \left (\frac{{x}_{1}}{G({\bf x})} \right), \dots, \log \left (\frac{{x}_{n}}{G({\bf x})} \right) \right \} = \left\{ \log ({x}_{1}) - \log( G({\bf x}) ) , \dots ,\log({x}_{n}) - \log( G({\bf x})) \right\}$$

现在，考虑一下

$$\log (G({\bf x} ))=\log \left( \exp \left[ \frac { 1 }{ n } \sum _{ i=1 }^{ n }{ \log ({ x }_{ i }) } \right] \right) = \mathop{\mathbb{E}}\left[ \log({\bf x}) \right]$$

这实际上意味着

$$\sum{\hat{{\bf x}}} = \sum{ \left [ \log({\bf x}) - \mathop{\mathbb{E}}\left[ \log({\bf x}) \right] \right ]} = 0$$

换句话说，CLR 消除了值范围限制（这对某些应用程序来说是好的），但没有消除总和约束，从而产生奇异的协方差矩阵，它有效地打破了 (M)ANOVA/线性回归/... 并使PCA 对异常值敏感（因为稳健的协方差估计需要全秩矩阵）。据我所知，在所有组合变换中，只有 ILR 解决了这两个问题，而没有任何主要的基本假设。不过，情况要复杂一些。CLR 坐标的 SVD 为您提供 ILR 空间中的正交基（ILR 坐标跨越 CLR 中的超平面），因此您的方差估计在 ILR 和 CLR 之间不会有所不同（这当然很明显，因为 ILR 和 CLR 在单纯形）。然而，有一些方法可以在 ILR 坐标上进行稳健的协方差估计 [2]。

更新一

只是为了说明 CLR 对相关性和位置相关方法无效。假设我们对一个由三个线性独立的正态分布分量组成的社区进行了 100 次抽样。为简单起见，让所有分量具有相同的期望 (100) 和方差 (100)：

In [1]: import numpy as np

In [2]: from scipy.stats import linregress

In [3]: from scipy.stats.mstats import gmean

In [4]: def clr(x):
   ...:     return np.log(x) - np.log(gmean(x))
   ...: 

In [5]: nsamples = 100

In [6]: samples = np.random.multivariate_normal(
   ...:     mean=[100]*3, cov=np.eye(3)*100, size=nsamples
   ...: ).T

In [7]: transformed = clr(samples)

In [8]: np.corrcoef(transformed)
Out[8]: 
array([[ 1.        , -0.59365113, -0.49087714],
       [-0.59365113,  1.        , -0.40968767],
       [-0.49087714, -0.40968767,  1.        ]])

In [9]: linregress(transformed[0], transformed[1])
Out[9]: LinregressResult(
   ...:     slope=-0.5670, intercept=-0.0027, rvalue=-0.5936, 
   ...:     pvalue=7.5398e-11, stderr=0.0776
   ...: )

更新二

考虑到我收到的回复，我发现有必要指出，在我的回答中，我从未说过 PCA 不适用于 CLR 转换的数据。我已经说过，CLR 可以以微妙的方式破坏 PCA，这对于降维可能并不重要，但对于探索性数据分析很重要。@Archie 引用的论文涵盖了微生物生态学。在计算生物学领域，使用各种距离矩阵上的 PCA 或 PCoA 来探索数据变化的来源。我的回答只能在这种情况下考虑。此外，论文本身也强调了这一点：

... 组合双图[注意：指 PCA]与用于 β 多样性分析的主坐标 (PCoA) 图相比具有几个优点。当数据是子集时，获得的结果非常稳定（Bian et al., 2017），这意味着探索性分析不仅仅由数据中的存在缺失关系驱动，也不是由过度稀疏性驱动（Wong et al., 2016; Morton et al., 2017）等人，2017）。

格洛尔等人，2017

更新三

对已发表研究的其他参考（感谢@Nick Cox 建议添加更多参考）：

1. 反对将 CLR 用于 PCA 的论点
2. 反对将 CLR 用于基于相关的方法的论点
3. ILR 简介

是的，当您的数据是组合数据时，您可以，而且实际上您应该这样做。

可以在此处找到来自微生物学领域的评论，这促使使用 CLR 转换和 PCA 来分析微生物组数据集（根据定义组成）：https ://www.frontiersin.org/articles/10.3389/fmicb .2017.02224/完整。