半径为的维超球的体积与成比例。$p$$r$$r^p$

所以距离原点超过。$kr$$\frac{r^p-(kr)^p}{r^p}=1-k^p$

所有个随机选择的点与原点的距离大于。要获得到最近随机点的中值距离，请将此概率设置为。所以$N$$kr$$\left(1-k^p\right)^N$$\frac12$

$$\left(1-k^p\right)^N=\tfrac12$$ $$\implies k=\left(1-\tfrac1{2^{1/N}}\right)^{1/p}.$$

直观地说，这是有一定道理的：随机点越多，您期望离原点最近的点越接近，因此您应该期望是的递减函数。这里是 N 的减函数所以是 N 的增函数因此是 as的递减函数个根。$k$$N$$2^{1/N}$$N$$\tfrac1{2^{1/N}}$$N$$1-\tfrac1{2^{1/N}}$$N$$p$

现在不用挥手

1. 对于任何 iid rv 序列， 其中是公共 CDF

   $$P( \min_{1\le i\le N} Y_i > y ) = (1-F(y))^N,$$ $F$

2. 因此，如果我们有维 的单位球中均匀分布其中是距离的公共 CDF，。最后，中的单位球中的一个均匀分布点，是多少？该点位于单位半径球内半径为 r 的球内的概率等于体积比：$N$$X_i$$p$

   $$P( \min_{1\le i\le N} ||X_i|| > r ) = (1-F(r))^N,$$ $F$$||X_i||, i=1,2,\ldots,N$$F$$R^p$

$$F(r) = P ( ||X_i|| \le r ) = C r^p/( C 1^p) = r^p$$

因此解决方案

$$1/2 = P( \min_{1\le i\le N} ||X_i|| > r ) = (1- r^p)^N$$

是

$$r = (1 - (1/2)^{1/N})^{1/p}.$$

还有您关于对样本量的依赖性的问题。对于固定，随着球填充的点越多，到原点的最小距离自然应该变小。$N$$p$

最后，你的交易量比例有问题。看起来应该是中单位球的体积。$k$$R^p$

言简意赅：

我们想要找到球中个均匀分布的点中离原点最近的点的中位距离，该点位于维单位半径的原点处。由于统计独立性，的概率（称为这个量表达式 [1]）是单个均匀分布点超过后者是一个减去单个均匀分布点小于的概率。后者是半径为的球的体积与单位半径的球的体积之比，即。我们现在可以将表达式 [1] 写为$N$$p$$r$$N^{th}$$r$$r$$r$$r^p$

$$P( \min_{1\le i\le N} ||X_i|| > r ) = (1- r^p)^N.$$

要找到距离最小值分布的中位数，将上述概率设置为并求解，得到答案。$1/2$$r$