我有两个非参数秩相关矩阵emp和sim （例如，基于斯皮尔曼的秩相关系数）：$\rho$

library(fungible)
emp <- matrix(c(
1.0000000, 0.7771328, 0.6800540, 0.2741636,
0.7771328, 1.0000000, 0.5818167, 0.2933432,
0.6800540, 0.5818167, 1.0000000, 0.3432396,
0.2741636, 0.2933432, 0.3432396, 1.0000000), 4, 4)

# generate a sample correlation from population 'emp' with n = 25
sim <- corSample(emp, n = 25)
sim$cor.sample

          [,1]      [,2]      [,3]      [,4]
[1,] 1.0000000 0.7221496 0.7066588 0.5093882
[2,] 0.7221496 1.0000000 0.6540674 0.5010190
[3,] 0.7066588 0.6540674 1.0000000 0.5797248
[4,] 0.5093882 0.5010190 0.5797248 1.0000000

emp矩阵是包含经验值（时间序列）之间相关性的相关矩阵，矩阵sim是相关矩阵 - 模拟值。

我已阅读问答如何比较两个或多个相关矩阵？，在我的情况下，我们知道经验值不是来自正态分布，我不能使用Box's M test。

我需要测试原假设：矩阵 和来自相同的分布。$H_0$empsim

问题。我可以使用什么测试？是否可以使用Wishart 统计？

编辑。 按照Stephan Kolassa的评论，我做了一个模拟。

我试图比较两个 Spearman 相关矩阵emp和simBox 的 M 检验。测试已返回

# Chi-squared statistic = 2.6163, p-value = 0.9891

然后我模拟了 1000 倍的相关矩阵sim并绘制了卡方统计量的分布。$M(1-c)\sim\chi^2(df)$

之后，我定义了卡方统计量的 5% 分位数。定义的 5% 分位数等于$M(1-c)\sim\chi^2(df)$

quantile(dfr$stat, probs = 0.05)
#       5% 
# 1.505046

可以看出，5% 的分位数小于得到的卡方统计量：（1.505046 < 2.6163图中蓝线），因此，myemp的统计量不会落在。$M(1−c)$$(M(1−c))_i$

编辑 2. 按照Stephan Kolassa的第二条评论，我计算了卡方统计量的 95-% 分位数（图中的蓝线）。定义的 95% 分位数等于$M(1-c)\sim\chi^2(df)$

quantile(dfr$stat, probs = 0.95)
#      95% 
# 7.362071

可以看到emp的统计量没有落在的右尾。$M(1−c)$$(M(1−c))_i$

编辑 3.我通过经验累积分布函数计算了准确的值（图中的绿线）：$p$

ecdf(dfr$stat)(2.6163)
[1] 0.239

可以看到 -value=0.239 大于。$p$$0.05$

参考

Reza Modarres & Robert W. Jernigan (1993) A robust test for comparison correlation matrices , Journal of Statistical Computation and Simulation, 46:3-4, 169-181。第一篇没有关于正态分布假设的论文。提出了两种不同的测试。二次形式测试是更简单的一种。

Dominik Wied (2014): A Nonparametric Test for a Constant Correlation Matrix, Econometric Reviews, DOI: 10.1080/07474938.2014.998152 作者提出了一种非参数程序来测试未知时间点相关矩阵的变化。

Joël Bun、Jean-Philippe Bouchaud 和 Mark Potters（2016 年），清洁相关矩阵，Risk.net，2016 年 4 月

Li, David X.，关于默认相关性：Copula 函数方法（1999 年 9 月）。可在 SSRN 获得：https ://ssrn.com/abstract=187289或http://dx.doi.org/10.2139/ssrn.187289

GEP Box，一类似然准则的一般分布理论。生物计量学。卷。36, No. 3/4（1949 年 12 月），第 317-346 页

MS Bartlett，充分性和统计检验的性质。过程。R. Soc。伦敦。1937 年 160、268-282

Robert I. Jennrich (1970): An Asymptotic χ2 Test for the Equality of Two Correlation Matrices , 美国统计协会杂志, 65:330, 904-912。

Kinley Larntz 和 Michael D. Perlman (1985) A Simple Test for the Equality of Correlation Matrices。第 63 号技术报告。

Arjun K. Gupta、Bruce E. Johnson、Daya K. Nagar（2013 年）测试多个相关矩阵的相等性。Revista Colombiana de Estadística Diciembre 36(2), 237-258

Elisa Sheng、Daniela Witten、Xiao-Hua Zhou (2016)差异相关特征的假设检验。生物统计学，17（4），677-691

James H. Steiger (2003)比较相关性：独立样本之间和/或内部的模式假设检验

这不是答案。

我模拟n=1000了相关矩阵的时间sim，计算了统计量 ,并绘制了卡方统计分布（左）和累积分布函数（右）。$M(1-c)_i$$i=1,2,...,n$

原假设：矩阵和来自同一分布。$H_0$empsim

备择假设：矩阵和不是来自同一分布。$H_1$empsim

有一个双尾检验。临界值是：$α=5\%$

alpha <- 0.05
q025  <- quantile(x, probs =     alpha/2);q025
#    2.5% 
# 1.222084 
q975  <- quantile(x, probs = 1 - alpha/2);q975
#   97.5% 
# 8.170121 

从计算可以看出：1.222084 < M(1-c)= 2.6163 < 8.170121，因此，为真。$H_0$

反例。我xx从分布中模拟了一个样本，并找到了样本特征：$\chi^2(df)$

m  <- 2                # number of matrices
k  <- 4                # size of matrices
df <- k*(k+1)*(m-1)/2  # degree of freedom    
xx <- rchisq(1000, df=df)

Mode <- function(x) {
  ux <- unique(x)
  ux[which.max(tabulate(match(x, ux)))]
}

Mode(xx) 
# [1] 5.845786
mean(xx)
# [1] 10.1366808
quantile(xx, probs =     alpha/2)
#    2.5% 
# 3.057377 
quantile(xx, probs = 1 - alpha/2)
#   97.5% 
# 19.91842    

样本的均值10.1366808落入统计M(c-1)分布的左尾，因此，不成立。$H_0$

但是样本的模式5.845786未能进入中间范围。