西蒙伍德关于 GAM 的书和他相关的 R 包 mgcv 在 GAM 理论和真实数据和模拟数据的模型拟合方面都非常详细和信息丰富。
对于 1D 平滑，除了决定是否实现循环基函数和自适应基函数外，真的没什么好担心的，与三次、薄板和 P 样条平滑相比，它可以给出非常不同的预测结果，因为在在自适应情况下，多个 GAM 沿着样条拟合到不同的区域。据我所知，循环基在时间序列建模中很常见，而当数据相对于响应变量变化很大时，应该考虑自适应平滑；但是，应“谨慎且谨慎地”使用自适应平滑。
我已经研究 GAM 有一段时间了，鉴于我的研究问题，我发现自己在谈到实现哪个平滑时改变了很多想法。mgcv 包括 17 种不同的平滑度可供选择（根据我的统计）。我考虑了三次和 P 样条平滑。
我现在的问题是：如果最终目标是使用拟合 GAM 进行预测，那么何时应该考虑自适应平滑而不是非自适应平滑？出于我的目的，我坚持使用默认的 GCV 平滑度标准，即使它有平滑度不足的趋势。
应用生态 GAM 的文献越来越多，但我还没有遇到过实施自适应平滑的研究。
任何建议表示赞赏。
mgcv工具箱中的大多数额外平滑实际上是用于专业应用程序的——对于一般 GAM，您可以在很大程度上忽略它们，尤其是单变量平滑（您不需要随机效应样条曲线、球体上的样条曲线、马尔可夫随机场，例如，如果您有单变量数据，则使用肥皂膜平滑剂。）
这些样条在渐近 MSE 意义上是最优的，但每次观察需要一个基函数。Simon 在mgcv中所做的是通过获取完整的 TPRS 基础并对其进行特征分解来生成标准 TPRS 的低阶版本。这创建了一个新的基，其中k新空间中的第一个基函数保留了原始基中的大部分信号，但基函数少得多。这就是mgcv设法获得仅使用指定数量的基函数而不是每次观察一个的 TPRS 的方式。这种特征分解保留了经典 TPRS 基的大部分最优性，但对大型数据集的计算工作量很大。
这是生成的快速基础，因此适用于处理大量数据的问题。然而，它是基于结的，因此在某种程度上，用户现在需要选择这些结的放置位置。对于大多数问题，超出默认节点位置（在数据边界处并且在数据之间均匀间隔）几乎没有什么好处，但是如果您在协变量范围内的采样特别不均匀，您可以选择放置节点例如，协变量的均匀分布的样本分位数。
mgcv中的每个其他平滑都是特殊的，用于您想要各向同性平滑或两个或多个协变量，或用于空间平滑，或实现收缩，或随机效应和随机样条，或协变量是循环的，或摆动变化超过协变量的范围。如果您遇到需要特殊处理的问题，您只需要冒险进入平滑工具箱。
mgcv中有 TPRS 和 CRS 的收缩版本。这些实现了一个样条曲线，其中基础的完美平滑部分也受到平滑度惩罚。这允许平滑度选择过程将平滑度缩小到甚至超过线性函数，基本上为零。这允许平滑度惩罚也执行特征选择。
这些样条可用于需要分别指定基阶和罚阶的专业应用。Duchon 样条概括了 TPRS。我的印象是 P 样条被添加到mgcv以允许与其他基于惩罚似然的方法进行比较，并且因为它们是 Eilers 和马克思在 1996 年的论文中使用的样条，这激发了 GAM 的许多后续工作。P 样条线也可用作其他样条线的基础，例如具有形状约束的样条线和自适应样条线。
在mgcv中实现的 B 样条在设置样条的罚分和结时具有很大的灵活性，这可以允许在观察数据范围之外进行一些外推。
如果可以将协变量的值范围视为一个圆圈，其中范围的端点实际上应该相等（一年中的月份或日期、运动角度、方面、风向），则可以将这个约束施加在基础。如果你有这样的协变量，那么施加这个约束是有意义的。
自适应样条曲线不是在协变量的各个部分中拟合单独的 GAM，而是使用加权惩罚矩阵，其中允许权重在协变量的范围内平滑变化。例如，对于 TPRS 和 CRS 样条，它们假定在协变量范围内具有相同程度的平滑度。如果您的关系不是这种情况，那么您最终可以使用比预期更多的自由度，以允许样条曲线适应摆动和非摆动部分。平滑文献中的一个经典例子是
library('ggplot2')
theme_set(theme_bw())
library('mgcv')
data(mcycle, package = 'MASS')
pdata <- with(mcycle,
data.frame(times = seq(min(times), max(times), length = 500)))
ggplot(mcycle, aes(x = times, y = accel)) + geom_point()
这些数据清楚地展示了不同平滑度的时期——系列的第一部分实际上为零，在冲击期间很多，之后减少。
如果我们对这些数据拟合标准 GAM，
m1 <- gam(accel ~ s(times, k = 20), data = mcycle, method = 'REML')
我们得到了一个合理的拟合，但在开始和结束的范围内有一些额外的摆动，times并且使用了 ~14 自由度的拟合
plot(m1, scheme = 1, residuals = TRUE, pch= 16)
为了适应变化的摆动，自适应样条曲线使用加权惩罚矩阵，权重随协变量平滑变化。在这里，我用相同的基础维度（k = 20）重新拟合了原始模型，但现在我们有 5 个平滑度参数（默认为m = 5）而不是原始模型的 1 个。
m2 <- gam(accel ~ s(times, k = 20, bs = 'ad'), data = mcycle, method = 'REML')
请注意，该模型使用的自由度要少得多（~8），并且拟合的平滑在末端的摆动要小得多，同时仍然能够充分适应撞击期间头部加速度的巨大变化。
这里实际发生的是样条曲线具有平滑的基础和惩罚的基础（允许权重随着协变量平滑变化）。默认情况下，这两个都是 P 样条，但您也可以使用 CRS 基类型（bs只能是'ps', 'cr', 'cc',之一'cs'）
如此处所示，是否进行自适应的选择实际上取决于问题。如果您有一个假设函数形式是平滑的关系，但平滑度在关系中协变量的范围内变化，则自适应样条曲线可能有意义。如果您的系列有快速变化的时期和较低或更平缓的变化时期，这可能表明可能需要自适应平滑。