让实验由$\DeclareMathOperator{\P}{\mathbb{P}} \DeclareMathOperator{\E}{\mathbb{E}} (\mathbb{X},\mathbb{B}, \P)$在哪里$\mathbb{X}$是样本空间，$\mathbb{B}$是所有事件的集合（的子集$\mathbb{X}$我们分配一个概率）和$\P$是概率测度。的点$\mathbb{X}$表示$\omega$，并且是“基本事件”（或“结果”）。本实验中的随机变量是函数$f \colon \mathbb{X}\mapsto \mathbb{R}$并写成$f(\omega)$，意味着它们的值由基本结果决定$\omega$.

对应事件$A$是指标随机变量

$$I_A(\omega) = \begin{cases} 1 ~\text{if $A$ occurs, that is, $\omega\in A$.} \\ 0 ~\text{if $A$ do not occur, that is $\omega \not\in A$.} \end{cases}$$ 从这个意义上说，事件可以嵌入为为此实验设置定义的所有随机变量集的子集。那么概率$A$发生可以写成期望 $$\P(A) = \E I_A.$$

对于评论中的附加问题：如果$A$和$B$是独立的（作为事件），那么$I_A$和$I_B$是独立的（作为随机变量）。“我们可以说 I_A=1 和 I_B=1 是独立的吗？” 好，$I_A=1$只是事件$A$，所以我想你现在可以回答了！

是的，事件就像布尔（你说二进制，但我认为这就是你的意思）随机变量，或者更准确地说，对于每个事件，都有一个相应的布尔随机变量。不同社区对同一事物使用略有不同的术语（指标函数、特征函数、谓词），输出类型可能为$\{0,1\}$或者$\{False, True\}$.

你提出了这一点：

一个事件可以发生也可以不发生，而一个随机变量可以有多个结果。

我认为概率文本通常不足以描述为什么概率公理是这样的，所以我会非常欢迎它：

假设你正在发明概率论的基础。你的第一个刺可能是说世界可能有一些可能的方式：$X$, 以及某种为这些可能性中的每一个分配概率的函数$f: X \to [0,1]$. 例如我们可以说$X$是掷骰子中的数字 1 到 6 的集合，并且$f(x) = 1/6$.

很快你会发现这有点限制，因为你想谈论可能世界的子集，即如果掷骰子大于 3 怎么办。所以你调整你的理论，而是将概率分配给集合$\mu: \mathcal{P}(X) \to [0,1]$在哪里$\mathcal{P}$表示所有子集的集合。这些子集中的每一个都称为事件，当您说事件发生时，您的真正意思是现实世界原来是该事件中可能的世界之一。 $\mu$不能随便给集合分配概率，它应该与$f$和常识。

您几乎满意，但随后您意识到还有其他一些您想要建模的东西最初没有被考虑在内$X$. 例如，您想谈论骰子弹跳 3 次的概率。更一般地说，戴上你的哲学家帽子，你认为谈论现实世界是不可能的（或至少非常困难），我们只能谈论我们对它的有限观察。因此，您构建了一个新对象$\Omega$它代表了更丰富的世界模型（例如，它可能是对掷骰子甚至整个宇宙的非常精确的物理模拟），但你只能用随机变量来谈论它。

您现在可以改为定义$X$作为随机变量（一个函数$\Omega \to \mathbb{N}$)，以及许多其他人都在谈论感兴趣的属性。对于随机变量的每组结果（单个结果只是一种特殊情况），总是有一组相应的可能世界（$\Omega$）， 事件。

为了便于理解，我们将自己限制在有限的样本空间中。

首先回答您的问题，不，随机变量的结果不是事件。随机变量将样本空间的一个元素作为其输入，并输出一个实数。

例如，假设我们从一个有 3 个标为 A、B 和 C 的球的瓮中抽出一个球。瓮中所有球的样本空间为 S = {A, B, C}。有 8 个可能的事件：{}、{A}、{B}、{C}、{A, B}、{A, C}、{B, C}、{A, B, C}。事件 {B, C} 表示抽出的球是 B 或 C。

随机变量是样本空间上的实值函数。如果随机变量 X 将 10 分配给 A，将 10 分配给 B，将 30 分配给 C，那么如果绘制了 A，则 X 的实际值为 10，这是一个实数，而不是一个事件。

如果 x 是一个数字，那么对应于 X = x 的事件是由 X 映射到 x 的样本空间元素的集合。在当前示例中，对应于 X = 10 的事件是 {A, B}，因为 A 和 B 都映射到 10 而 C 不是。

随机变量和事件之间的上述关系延伸到其他概念。例如，如果对于每对实数 x 和 y，事件 X = x 和 Y = y 是独立的，则随机变量 X 和 Y 是独立的。类似地，如果事件 X = x 和 Y = y 在给定事件 Z = z 的情况下条件独立，则 X 和 Y 在给定 Z 的情况下是条件独立的。

（我在这里假设问题是关于事件和随机变量之间的关系，而不是关于我们假设的概率、独立性和条件独立性的定义。）