皮尔逊 1900 年的论文已无版权，因此我们可以在线阅读。

您应该首先注意本文是关于拟合优度测试，而不是独立性或同质性测试。

他继续使用多元正态，卡方作为标准化正态变量的平方和而出现。

您可以从 p160-161 的讨论中看到，他清楚地讨论了将测试应用于多项分布式数据（我认为他在任何地方都没有使用该术语）。他显然理解多项式的近似多元正态性（当然他知道边距近似正态 - 这是一个非常古老的结果 - 并且知道均值、方差和协方差，因为它们在论文中有所说明）；我的猜测是，到 1900 年，这些东西中的大部分已经过时了。（请注意，卡方分布本身可以追溯到 Helmert 在 1870 年代中期的工作。）

然后在 p163 的底部，他得出了一个卡方统计量作为“拟合优度的度量”（统计量本身出现在多元正态近似的指数中）。

然后他继续讨论如何评估 p 值*，然后他正确地给出了 43.87 之外的的上尾面积为 0.000016。[但是你应该记住，他在那个阶段没有正确理解如何调整参数估计的自由度，所以他论文中的一些例子使用了太高的 df]$\chi^2_{12}$

*（请注意，Fisherian 和 Neyman-Pearson 测试范式都不存在，但我们清楚地看到他已经应用了 p 值的概念。）

您会注意到他没有明确写出类的术语。相反，他为预期计数写、等，对于观察到的数量，他使用等等。然后，他定义（下半部分 p160）并计算（参见 eq. (xv) p163 和 p167 底部表格的最后一列）......等量，但以不同的表示法。$(O_i-E_i)^2/E_i$$m_1$$m_2$$m'_1$$e = m-m'$$e^2/m$

目前理解卡方检验的大部分方法还没有到位，但另一方面，已经有相当多的方法了（至少如果你知道要寻找什么的话）。1920 年代（及以后）发生了很多事情，改变了我们看待这些事情的方式。

至于为什么我们在多项式情况下除以，碰巧的是，即使多项式中各个分量的方差小于，当我们考虑协方差时，它也相当于只除以，得到了很好的简化。$E_i$$E_i$$E_i$

在编辑中添加：

Plackett 1983 年的论文提供了大量的历史背景，并为该论文提供了一些指导。我强烈建议看看它。看起来它是通过 JStor 在线免费提供的（如果您登录），因此您甚至不需要通过机构访问来阅读它。

Plackett, RL (1983)，
“Karl Pearson 和卡方检验”，
国际统计评论，
卷。51，第 1 期（4 月），第 59-72 页