从Engle 原始论文的摘要中复制：
“这些是均值为零、序列不相关的过程，具有以过去为条件的非恒定方差，但恒定的无条件方差。对于此类过程，最近的过去提供了有关一期预测方差的信息”。

继续参考文献，正如介绍 GARCH 的作者所展示的 (Bollerslev, Tim (1986). " Generalized Autoregressive Conditional Heteroskedasticity ", Journal of Econometrics, 31:307-327) 对于 GARCH(1,1) 过程，它就足够了$\alpha_1 + \beta_1 <1$对于二阶平稳性。

平稳性（估计过程所需的）是相对于无条件分布和矩定义的。

附录
为了总结评论中的讨论，GARCH 建模方法是一种巧妙的方法来模拟随时间推移的可疑异方差性，即过程的某种形式的异质性（这将使过程非平稳）作为观察到的特征来自过程记忆的存在，本质上是在无条件的水平上诱导平稳性。

换句话说，我们在随机过程分析（异质性和记忆性）中选择了我们的两个“大对手”，并用一个来抵消另一个——这确实是一个受启发的策略。

是的，该系列应该是静止的。GARCH 模型实际上是具有非平凡依赖结构的白噪声过程。经典 GARCH(1,1) 模型定义为

$$r_t=\sigma_t\varepsilon_t,$$

和

$$\sigma_t^2=\alpha_0+\alpha_1\varepsilon_{t-1}^2+\beta_1\sigma_{t-1}^2,$$

在哪里$\varepsilon_t$是具有单位方差的独立标准正态变量。

然后

$$Er_t=EE(r_t|\varepsilon_{t-1},\varepsilon_{t-2},...)=E\sigma_tE(\varepsilon_t|\varepsilon_{t-1},\varepsilon_{t-2},...)=0$$

和

$$Er_tr_{t-h}=EE(r_tr_{t-h}|\varepsilon_{t-1},\varepsilon_{t-2},...)=Er_{t-h}\sigma_{t}E(\varepsilon_t|\varepsilon_{t-1},\varepsilon_{t-2},...)=0$$

为了$h>0$. 因此$r_t$是一个白噪声过程。然而有可能证明$r_t^2$实际上是一个$ARMA(1,1)$过程。所以 GARCH(1,1) 是平稳过程，但具有非常量条件方差。

对于仍然想知道这个问题的任何人，我会澄清一下——波动性聚类并不意味着该系列是非平稳的。这表明存在一个不断变化的条件方差机制——它可能仍然满足无条件分布的恒定性。

Bollerslev 的 GARCH(1,1) 模型在以下情况下不是弱平稳的$\alpha_{1}+\beta>1$，但是对于更大的范围，它实际上仍然是严格平稳的，Nelson 1990。进一步的 Rahbek & Jensen 2004（非平稳 GARCH 中的渐近推断）表明，$\alpha_{1}$和$\beta$对于确保模型非平稳的任何参数规范，它是一致且渐近正态的。将此与 Nelson 1990 的结果（所有弱或严格的平稳 GARCH(1,1) 模型的 MLE 估计量一致且渐近正态）相结合，表明任何参数组合$\alpha_{1}$和$\beta>1$将有一致且渐近正态的估计量。

然而，重要的是要注意，如果 GARCH(1,1) 模型是非平稳的，则条件方差中的常数项不会被一致地估计。

无论如何，这表明在估计 GARCH 模型之前不必担心平稳性。但是，您确实必须怀疑它是否似乎具有对称分布，以及该系列是否具有高持久性，因为这在经典 GARCH(1,1) 模型中是不允许的。当您估计了模型后，有兴趣测试是否$\alpha_{1}+\beta=1$如果您正在使用金融时间序列，因为这意味着趋势条件方差，很难想象这是投资者的行为趋势。然而，测试这个可以通过正常的 LR 测试来完成。

平稳性被相当误解了，并且仅与方差或均值是否似乎在局部变化有关 - 因为在过程保持恒定的无条件分布时仍然会发生这种情况。您可能认为方差的表面变化可能会导致偏离平稳性的原因是，方差方程（或均值方程）中的永久水平位移根据定义会破坏平稳性。但如果变化是由模型的动态规范引起的，即使平均值无法识别并且波动率不断变化，它也可能仍然是平稳的。另一个很好的例子是 Ling 在 2002 年引入的 DAR(1,1) 模型。

平稳性是一个理论概念，然后将其修改为其他形式，例如可以轻松测试的弱感平稳性。大多数测试都像你提到的 adf test 只测试线性条件。ARCH 效应适用于一阶不具有自相关但在平方序列中存在相关性的序列。

你说的 ARMA-GARCH 过程，这里使用 GARCH 部分去除了二阶依赖，然后线性项中的任何依赖都被 ARMA 过程捕获。

解决的方法是检查平方序列的自相关，如果存在相关性，则应用 GARCH 模型并检查任何线性时间序列属性的残差，然后可以使用 ARMA 过程对其进行建模。