信息处理 - 采样的连续和离散时间信号之间的关系 - 吾爱随笔录

考虑下面的草图系统。 $x_c(t)$ 是输入端的任意连续时间信号，并且 $s(t)$ 是一个脉冲序列，定义为 $s(t)=\sum_{n=-\infty}^{\infty} \delta(t-nT)$ ，其中 T 是采样周期。因此：

x_{s} (t) = x_{c} (t) s (t) = \sum_{n = - \infty}^{\infty} x_{c} (n T) δ (t - n T)

$x_s(t) = x_c(t)s(t)=\sum_{n=-\infty}^{\infty} x_c(nT)\delta(t-nT)$

现在我计算并比较的傅立叶变换 $x_s(t)$ 和 $x_c(nT)$ .

X_{s} (j Ω) = \int_{- \infty}^{\infty} x_{s} (t) e^{- j Ω t} d t = \int_{- \infty}^{\infty} \sum_{n = - \infty}^{\infty} x_{c} (n T) δ (t - n T) e^{- j Ω t} d t = \sum_{n = - \infty}^{\infty} x_{c} (n T) e^{- j Ω n T}

$X_s(j\Omega)=\int_{-\infty}^{\infty} x_s(t)e^{-j\Omega t}dt=\int_{-\infty}^{\infty} \sum_{n=-\infty}^{\infty} x_c(nT)\delta(t-nT)e^{-j\Omega t}dt=\sum_{n=-\infty}^{\infty}x_c(nT)e^{-j\Omega nT}$

X (e^{j ω}) = \sum_{n = - \infty}^{\infty} x [n] e^{- j ω n}

$X(e^{j\omega})=\sum_{n=-\infty}^{\infty} x[n]e^{-j\omega n}$

结果看起来非常相似。事实上，它们是相等的，如果 $\omega=\Omega T$ .

计算没有问题，但我遇到的问题是理解这真正意味着什么。所以很明显这是一个缩放。如果我将角频率定义为 $\Omega_s=\frac{2\pi}{T}$ 并将其代入上述公式 $\omega$ ，我得到 $\omega_s=2\pi$ . 因此，似乎通过离散化过程，实际频率信息丢失了，傅里叶变换从 0 变为 $2\pi$ . 为了检索信息，我需要乘以 $\omega$ 与采样频率。这个说法正确吗？为什么会发生这种情况？这背后有什么意义？可能我错过了一件明显的事情，我觉得只见树木不见森林。