信息处理 - 离散余弦变换 (DCT) 的相移 - 吾爱随笔录

最常见的离散余弦变换 (DCT-II) 类型定义为

\begin{aligned} X_{k} & = \sum_{n = 0}^{N - 1} x_{n} \cdot \cos (\frac{π}{N} (n + \frac{1}{2}) \cdot k) & where & k = 0, 1, . . ., N - 1 \end{aligned}

$\begin{align} X_k&=\sum_{n=0}^{N-1}x_n\cdot \cos\left(\frac{\pi}{N}\left(n+\frac{1}{2}\right)\cdot k\right)&\text{where }& k=0,1,...,N-1 \end{align}$ （参见https://en.wikipedia.org/wiki/Discrete_cosine_transform）

我的问题是我只是不明白的相移是什么。在介绍 DCT-II的论文中，它只是这样定义的，似乎是因为作者想将它与切比雪夫多项式联系起来。这个类比可能很简洁，但相移的实际好处是什么？ $\frac{1}{2}$

我只能说，我们不妨把它排除在外。但显然，它一定有什么东西，因为它今天仍在使用。遗憾的是，我查阅过的所有书籍都只是给出了 DCT 的定义，而没有证明相移的合理性。有人可以解释或指出一个好的来源吗？