时域中的卷积相当于频域中的乘法。

如果您在时域中对两个正弦曲线进行窗口化以获得有限长度的波形，并且这两个正弦曲线在窗口宽度上恰好是整数周期，那么 DFT 将是脉冲。如果频率不同，两个 DFT 中的脉冲会不相交，两个频谱相乘会导致输出为零。

如果两个正弦曲线中的一个或两个在您的窗口宽度中不完全是整数周期，那么 FT 将产生一个 Sinc 函数。然后卷积将等效于将 Sinc 函数与脉冲或另一个 Sinc 函数相乘，这将产生非零结果。

不同频率 和的两个加窗正弦信号的卷积可以看作是使频率为 的加窗正弦波通过一个假设的线性滤波器的结果，该滤波器的脉冲响应是频率为的加窗正弦波。当线性滤波器被频率为 f_1 的音调激励时稳态输出为频率为 的音调。但是，由于系统的瞬态响应，输出中也存在伪影，如果可以 的话， 它希望输出频率为$f_1$$f_2$$f_1$$f_2$$f_1$$f_1$$f_2$

如果输入信号（频率为的音调）从开始并持续到未来的永恒，那么瞬态响应（从开始）将在很久以前消失，我们观察到只有平时的稳态响应（比如在和之间）。例如，输入开始的加窗信号，观察到稳态响应（频率的音调）和瞬态响应（频率的衰减音调） 。因此，两者$f_1$$t = -\infty$$t = -\infty$$t = 0$$t = T$$t=0$$f_1$$f_2$$t \geq 0$当卷积两个窗口音调时，输出中应该可以观察到频率，特别是应该可以观察到较小的频率。

也许尝试利用傅立叶变换的特性。在我的脑海中，也许利用对偶属性会帮助你。

我认为没有窗口的情况下值得一看。OP没有提到窗口，没有它应该有答案。

让我们暂时停留在模拟域中。我们可以尝试在频域中解决这个问题：正弦波的 FT 是。时域中的卷积相当于频域中的乘法，因此答案将是“0，除非频率相同”。该操作仍然有点尴尬，因为您需要将零与无穷大的东西相乘，但是当函数具有无限值时，它具有有限的能量，因此乘法的能量为零。$k\cdot(\delta(\omega_1)+\delta(-\omega_1))$$\delta()$

时域看起来有点尴尬。对于每个输出，我们需要在某个时间滞后时将两个正弦波相乘，然后从积分到。两个正弦波的乘积是两个正弦波的和频和差频。然而，积分很尴尬，乍一看似乎并没有收敛。$-\infty$$+\infty$

可能有诀窍。首先我们可以把它分成两个积分，一个是和，一个是差，然后像这样计算积分

在内的任何 T 值，该积分始终为零。这里的技巧是选择积分间隔，​​使其始终围绕正弦波的零对称。所以区间下半部分的积分总是上半部分积分的负数，并且两半会相互抵消。$\infty$

我不完全确定这是否是“合法”技巧，即是否可以通过智能选择积分间隔来强制收敛。