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为什么导数和对数运算符会放大噪声效应？

信息处理噪音

2022-02-11 22:53:29

据说，在控制系统中不要使用微分算子。因为它会放大噪音效果。有人可以解释一下并提供一些数学参考吗？我也听说，出于同样的原因
，我们也不应该使用对数运算符。怎么会？
提前致谢。

1个回答

导数算子是线性和时不变的，可以用它的频率响应来描述

\begin{matrix} (1) & X (j ω) = j ω \end{matrix}

$X(j\omega)=j\omega\tag{1}$

从 (1) 可以明显看出，它的增益随频率线性增加，并且高频（SNR 通常很差）被大大放大（正如 endolith 的评论中已经指出的那样）。

对数是一种无记忆的非线性，它会压缩输入信号。此操作用于许多信号处理算法，例如用于语音识别的特征提取。在这些算法中，此操作对性能至关重要，并且绝对不会恶化信号。然而，重要的是当它的参数接近零时处理对数的奇异性，因为：

lim_{x \to 0 +} \log (x) = - \infty

$\lim_{x\rightarrow 0+}\log(x)=-\infty$ 如果什么都不做，在信号几乎为零的时期（即只有噪声时），对数将产生非常高的负峰值。这个问题很容易通过定义一个阈值来解决，无论是在对数的值上还是在输入信号上。请注意，对数只能应用于非负信号（通常是频域数据的幅度或平方幅度）。

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