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DFT中旋转因子的魔力

信息处理 fft 自由度

2022-02-15 00:18:13

在 DFT 计算中使用以下公式其中 Twiddle 因子为称为复单位根，即复数使得。有 ,个单位根。

X [k] = \sum_{n = 0}^{N - 1} x [n] e^{- j 2 π \frac{k n}{N}}

$X[k] = \sum_{n=0}^{N-1} x[n] e^{-j2\pi\frac{kn}{N}}$

W_{N}

$W_N$

(W_{N})^{N} = 1

$(W_N)^N = 1$

N

$N$

N

$N$

(W_{N})^{k} = e^{j 2 π \frac{k}{N}} = (ω_{N})^{k}

$\big( W_N \big)^{k} = e^{j2\pi\frac{k}{N}} = (\omega_N)^k$

假设我正在做 8 点 DFT。然后我能够得到这个 DFT 公式的 8 个频率箱输出：。 $X[0], \ldots, X[7]$

请建议这个旋转因子有什么魔力，当每个旋转因子乘以样本并求和时，我们得到相应的频率区间？

2个回答

请参阅从信号中分离特定频率的不同方法，其中我解释了信号零差和系数零差之间的区别和相似之处。DFT 是对系数进行零差的示例，这样，将原本可能是移动平均低通滤波器的系数乘以在频率附近创建带通响应。旋转因子只是的离散样本！ $e^{j2\pi f_c t}$ $f_c$ $e^{j2\pi f_c t}$

在 DFT 矩阵中特别观察，第二行遍历单位根中的所有样本，因此绕单位圆一次（表示每个周期一个样本的归一化频率）。第三行遍历单位根中的每个其他样本，并且在此过程中围绕单位圆两次，第四行围绕单位圆三次，依此类推。（第一行都是代表无旋转，DC，或基本移动平均滤波器）。请注意，过去，其中 $f_s/2$ $f_s$ 是采样率，较高的正旋转别名为负旋转。比如下图的4点DFT，归一化的0、1、2、3的频率也是0、1、-2、-1；逆时针绕单位圆转两圈与顺时针绕单位圆转两圈是一样的，当旋转因子只有 0、j、-1 和 -j 时：(0, -1, 0, -1)。逆时针旋转 3 次与顺时针旋转 1 次相同：(0, -j, -1, j)。

如果您考虑“流式 DFT”的情况，在这种情况下，我们通过更长的序列移动并在每次移动后计算一次 DFT，那么作为滤波器组的 DFT 会更加清晰。在这种情况下，DFT 的每个点都将与 FIR 滤波器的输出相同，而 DFT 行给出的系数与该输出相关联。

旋转因子恰好是正交变换的基向量的样本。

“神奇”在于每个 DFT 基向量为 FFT 结果箱创建一个匹配滤波器（一个复数或两个实数匹配滤波器）。旋转因子也可以被认为是滤波器抽头。

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