如果离散序列的 DTFT$x[n]$是$X(e^{j\omega})$, 什么是 DTFT$g[n] = x[2n]$?

我看到教科书的答案是

$$\begin{align*} G(e^{j\omega}) &= \frac{1}{2} \left( X(e^{j\omega/2}) + X(e^{j(\omega-2\pi)/2}) \right) \end{align*}$$

我的问题开始：

$$\begin{align*} X(e^{j\omega}) &= \sum\limits_{n=-\infty}^\infty x[n] e^{-j\omega n} \\ G(e^{j\omega}) &= \sum\limits_{n=-\infty}^\infty g[n] e^{-j\omega n} \\ G(e^{j\omega}) &= \sum\limits_{n=-\infty}^\infty x[2n] e^{-j\omega n} \\ \end{align*}$$

我如何得出给定的教科书答案？

更新：

我尝试显而易见的$m=2n$替换，但是我看不到如何更改总和上的变量，使其计数为 2？

$$\begin{align*} G(e^{j\omega}) &= \sum\limits_{n=-\infty}^\infty x[m] e^{-j\omega m/2} \\ \end{align*}$$