并非每个信号都存在傅立叶变换。例如，没有信号的傅里叶变换$(2)^{n} u(n)$. 因此，为了获得对这些信号有用的收费，您可以将信号乘以一个序列$r^{-n}$为了使它衰减得足够快以收敛：

$$X(\omega) = \sum_{n=-\infty}^{\infty}{[x(n)r^{-n}]e^{-j \omega n}}$$

$$X(\omega) = \sum_{n=-\infty}^{\infty}{x(n)(re^{j \omega})^{-n}}$$

然后，我们可以使$z = re^{j \omega}$. 因此，在这种情况下，z 是一个复数值，可以理解为复频率。

验证每个值很重要$r$上面的总和收敛。这些值称为 Z 变换的收敛区域 (ROC)。z 变换等于傅里叶变换，当$r = 1$，但傅里叶变换仅存在于$r = 1$在中华民国内部。

作为$z$是一个复杂的变量，你不能像你说的那样在笛卡尔图中绘制它。您将需要绘制一个 3D 图形，其中 x 轴和 y 轴包含$z$, z 轴是 z 变换的值。我不知道在任何应用程序中是否有像这样的图的真正实用程序，这就是为什么看到这个图并不常见的原因。通常，z 平面就足够了。

Z 变换是应用于理想且均匀采样的信号的拉普拉斯变换。

$$\mathcal{Z} \left\{ x[n] \right\} \Bigg|_{z=e^{sT}} = \mathcal{L} \left\{ x_\text{s}(t) \right\}$$

在哪里

$$\begin{align} x_\text{s}(t) & \triangleq x(t) \sum_n \ \delta(t - nT) \\ & = \sum_n x(t) \ \delta(t - nT) \\ & = \sum_n x(nT) \ \delta(t - nT) \\ & = \sum_n x[n] \ \delta(t - nT) \\ \end{align}$$

$T$，当然是与连续时间单位相同的采样周期$t$. 和$T = \frac{1}{f_\text{s}}$在哪里$f_\text{s}$是采样率。并且，根据定义，$x[n] \triangleq x(nT)$.

如果你评估$z$在$e^{j \omega}$，您将获得与频率相关的信息，就像在拉普拉斯变换中一样，如果您评估$s$在$j\Omega$. "的意义$z$“到Z变换的意义是一样的”$s$"是拉普拉斯变换。