在您的第二个链接中，简单平面波的时间和空间依赖性由下式给出

Ψ ( x , t ) = 一个 sin ( ω t ± kx )

就像上面方程的傅里叶变换可以从时域得到$t$到频域$\omega$，所以也可以从空间中进行傅里叶变换$x$波向量的域$k$领域。对于非常简单的一维平面波，波向量减少为波数 $k= \frac{2\pi}{\lambda}$在第一个等式中。

通常，位置和波矢量都是矢量，并且波对两者的依赖性由下式给出

麦克风阵列的孔径取决于麦克风的位置（位置量），因此傅里叶变换取决于波矢量。

在您的第一个链接的第 1.3.2 节中，他们正是这样做的 - 将光圈从位置到波矢量空间的傅里叶变换，根据波矢量产生光束的模式。

在@Peter K 的另一个答案中给出的示例中，考虑一个平面波从麦克风阵列以一定角度传播$\theta$. 指数里面的项，是波矢与麦克风阵列间距的点积。

看看我回答你其他问题scilab的代码。

这个问题是关于离散孔径的，但它类似于您在此处提出的问题。

对于那个问题，波束方向图由下式给出： 通过明智地选择参数，您可以看到这看起来有点像权重的离散傅里叶变换，类似于。

要从论文中获得公式，您需要考虑连续孔径而不是离散传感器。